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Hallo,
ich hab mal wieder ein kleine Problemchen...
Und zwar versteh ich das mit dem Binominalkoeffizienten nicht so ganz...
es heißt ja:
[mm] \vektor{n \\ k}=\bruch{n!}{k!(n-k)!}
[/mm]
wie man das jetzt rechnet ist mir klar
z.B.:
[mm] \vektor{6 \\ 4}=\bruch{5*6}{2}=15
[/mm]
nur wie komme ich zu dieser Formel???
Es heißt hier:
[mm] \vektor{n \\ k}=\bruch{n(n-1)(n-2)...[n-(k-1)]}{k!}
[/mm]
was das jetzt bedeutet peil ich nicht so ganz...
n*(n-1)(n-2)...[n-(k-1)] <-- heißt das nun, wenn ich ein n wegnehme gibt es eine Möglichkeit weniger?? aber wieso heißt es dann am Schluss "[n-(k-1)]" das geht mir irgendwie nicht in den Kopf :/
Naja vielleicht könnte es mir ja jemand erklären... wär echt klasse!!!
Danke schonmal!
Gruß fisch.auge
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:55 Mi 05.10.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
der Trick ist gerade, dass sich (n-k)! und ein Teil von n! wegkürzen !
Ich denke mal, dass du weißt, wie die Fakultät definiert ist, oder?
dann ist doch:
[mm] $\bruch{n!}{k!(n-k)!}=\bruch{n*(n-1)*\ldots *(n-(k-1))*(n-k)*(n-(k+1))*\ldots *2*1}{ \hfill k! * \hfill (n-k)*(n-(k+1))*\ldots *2*1 }$
[/mm]
und da hebt sich eben nun der gemeinsame Teil weg
und dann bleibt deine letzte Formel (ohne Fakultät im Zähler !!) stehen.
viele grüße
DaMenge
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oh je :/
hmmm.... wie Fakultät definiert ist...
so: n!= 1*2*3...*n ???
und wieso ohne Fakultät im Zähler?
es heißt doch letztendlich:
[mm] \vektor{n \\ k}=\bruch{n!}{k!(n-k)!}
[/mm]
?
irgendwie bin ich jetzt verwirrt!?!?!?!? :(
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Hallo fisch.auge!
> oh je :/
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> hmmm.... wie Fakultät definiert ist...
> so: n!= 1*2*3...*n ???
Ja, aber das ist doch genau das Gleiche wie DaMenge angegeben hat, nämlich n(n-1)(n-2)... usw. halt.
> und wieso ohne Fakultät im Zähler?
> es heißt doch letztendlich:
> [mm]\vektor{n \\ k}=\bruch{n!}{k!(n-k)!}[/mm]
Ja, aber es kürzt sich doch genau weg! DaMenge hat es doch schon so schön untereinander geschrieben:
$ [mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!}=\bruch{n\cdot{}(n-1)\cdot{}\ldots \cdot{}(n-(k-1))\cdot{}(n-k)\cdot{}(n-(k+1))\cdot{}\ldots \cdot{}2\cdot{}1}{ \hfill k! \cdot{} \hfill (n-k)\cdot{}(n-(k+1))\cdot{}\ldots \cdot{}2\cdot{}1 } [/mm] $
Das, was genau übereinander steht, kürzt sich weg, und dann bleibt genau das übrig, was du haben willst. Übrigens hast du es beim Berechnen auch schon genauso gemacht. 
> ?
> irgendwie bin ich jetzt verwirrt!?!?!?!? :(
Ja, ich glaube auch. Vielleicht solltest du morgen nochmal drüber gucken? Oder ist es jetzt klar?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Ich habe jetzt zumindest verstanden, wie die Formel zustande kommt...
Nur gibt es noch ein elementares Problem und ich traue mich kaum zu fragen, da sie mir so !extrem! banal vorkommt!!!!
Also hier mein Gedankenexperiment:
Ich habe 4 Elemente aus denen ich 2 Auswählen soll, nehmen wir an ich hätte:
A B C D
Nun kann ich als erstes Element noch alle 4 auswählen, nachdem ich z. B. A ausgewählt habe, kann ich mich noch zwischen,
B C D
entscheiden...
Wenn ich nun aber B als erstes Element auswähle kann ich mich noch zwischen,
A C D
entscheiden...
Ich hab mir jetzt mal ne kleine Tabelle gemacht:
1. A und B 7. B und A
2. A und C 8. C und A
3. A und D 9. D und A
4. B und C 10. C und B
5. B und D 11. D und B
6. C und D 12. C und A
ab 7. fangen sie sich ja an zu wiederholen, denn ob ich A und B, oder B und A herausnehme, ist ja egal und führt zum selben Ergebnis.
Deshalb sind sie ja auch keine weiteren Möglichkeiten...
Rechnerisch würde das ganze nun so gelöst werden:
[mm] \vektor{4 \\ 2}=\bruch{4*(4-1)}{2*(2-1)}
[/mm]
Jetzt entsteht für mich dieses extrem banale Problem *schäm*
Ich habe zunächst 4 Elemente aus denen ich frei wählen kann...
Nur weshalb multipliziere ich nun? Ich weiß das ich noch 3 Möglichkeiten habe auszuwählen, deshalb die 3. Und irgendwie möchte mein Gehirn heute morgen nicht so... Ich hoffe ihr könnt mir bei diesem elementaren Problem helfen! Nochmal *extremes Schämen*
Vielen Dank und Grüße Benjamin
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Hallo Benjamin,
> Jetzt entsteht für mich dieses extrem banale Problem
> *schäm*
nicht schämen - manchmal sind es die kleinen Dinge, die einem den Weg versperren. 
> Ich habe zunächst 4 Elemente aus denen ich frei wählen
> kann...
> Nur weshalb multipliziere ich nun? Ich weiß das ich noch 3
> Möglichkeiten habe auszuwählen, deshalb die 3. Und
> irgendwie möchte mein Gehirn heute morgen nicht so... Ich
> hoffe ihr könnt mir bei diesem elementaren Problem helfen!
Stell' dir eine Speisekarte im Restaurant vor:
3 Hauptgerichte, 4 Nachspeisen.
Wie oft kannst du dort essen, ohne dieselbe Speisenfolge erneut zu wählen?
Wenn du ein Hauptgericht gewählt hast, kannst du noch viermal unter den Nachspeisen wählen
[mm] \Rightarrow [/mm] 1*4 Mittagessen
wenn du aber das zweite Hauptgericht wählst, hast du wieder vier weitere Kombinationen
[mm] \Rightarrow [/mm] 1*4 weitere Mittagessen
wenn du aber das dritte Hauptgericht wählst, hast due wieder vier weitere Kombinationen
[mm] \Rightarrow [/mm] 1*4 weitere Mittagessen
insgesamt also: 3*4 verschiedene Mittagessen.
Jetzt klar(er)?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:27 Sa 08.10.2005 | | Autor: | fisch.auge |
... :D jetzt hab ichs kapiert :D
vielen Dank für deine Hilfe!
:D
Gruß Benjamin
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Hallo fisch.auge,
Hier findest Du noch eine Erklärung für den Binomialkoeffizienten.
Gruß
Karl
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... verstehe ich nicht so ganz :/
und zwar diesen:
>Für die Belegung des vorletzten Platzes kann ich noch aus n-k+2 >Elementen wählen.
>(k-1). Platz: [mm] (\underbrace{X,\ldots,X}_{k-1\;\mbox{Stück}},?)
[/mm]
>Für die Belegung des letzten Platzes kann ich noch aus n-k+1 Elementen >wählen.
>k. Platz: [mm] (\underbrace{X,\ldots,X}_{k\;\mbox{Stück}}), [/mm] alle Plätze >belegt.
wie komme ich hier auf n-k+2 ??? könnte das jemand vielleicht an nem Beispiel festmachen... z.B.: [mm] \vektor{6 \\ 5}
[/mm]
DANKE!!!!! :D
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 Mi 05.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Fischauge!
Nehmen wir mal das Beispiel
${10 [mm] \choose [/mm] 5}$.
Ich will aus $10$ Elementen $5$ wählen.
Ich wähle das erste Element: Dabei kann ich aus $10=10-1+1$ Elementen auswählen.
Ich wähle das zweite Element: Dabei kann ich aus $9=10-2+1$ Elementen auswählen.
Ich wähle das dritte Element: Dabei kann ich aus $8=10-3+1$ Elementen auswählen.
Ich wähle das vierte Element: Dabei kann ich aus $7=10-4+1$ Elementen auswählen.
Ich wähle das fünfte Element: Dabei kann ich aus $6=10-5+1$ Elementen auswählen.
Allgemein:
Ich wähle das $k$-te Element: Dabei kann ich aus $10-k+1$ Elementen auswählen.
Und noch allgemeiner:
Ich wähle das $k$-te Element aus $n$ Elementen: Dabei kann ich aus $n-k+1$ Elementen auswählen.
Dementsprechend:
Ich wähle das $(k-1)$-te Element aus $n$ Elementen: Dabei kann ich aus $n-(k-1)+1 = n-k+2$ Elementen auswählen.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:00 Mi 05.10.2005 | | Autor: | fisch.auge |
ich habs glaub ich gerafft :D
ist schon etwas spät ;)
morgen werd ich mirs zur Sicherheit nochmal ansehen! :D
Vielen Dank an alle die mir geholfen haben!!!!
Gruß Benjamin
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