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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
| Aufgabe | | Zeige das [mm] \forall [/mm] n aus [mm] \IN [/mm] gilt: [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^{k}}{k+1}\vektor{n \\ k}=\bruch{1}{n+1} [/mm] |
Ich hänge an einer Stelle fest, am besten ich schreibe mal den Weg bis dahin auf.
zuerst hab ich die Voraussetzung umgeschrieben:
[mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^{k}}{k+1}\vektor{n \\ k}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{n+1}*\summe_{k=0}^{n}(-1)^k\vektor{n+1 \\ k+1}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{n+1}*[\summe_{k=0}^{n}(-1)^k\vektor{n \\ k}+\summe_{k=0}^{n}(-1)^k\vektor{n \\ k+1}]
[/mm]
so.. für x=1 und y =-1 kann man den 1. Teil in der Klammer als den Binomischen Lehrsatz interpretieren, also: [mm] \summe_{k=0}^{n}(-1)^k\vektor{n \\ k}=(x+y)^n=(1+(-1))^n=0 [/mm] (dachte ich mir zumindest) also fällt dieser Teil in der Klammer weg:
= [mm] \bruch{1}{n+1}*[0 [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{n}(-1)^k\vektor{n \\ k+1}]
[/mm]
so und jetzt gehe ich zum Hauptteil über (n->n+1):
dann erhalte ich:
= [mm] \bruch{1}{n+2}*\summe_{k=0}^{n+1}(-1)^k\vektor{n+1 \\ k+1}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{n+2}*[\summe_{k=0}^{n}(-1)^k\vektor{n+1 \\ k+1}+(-1)^{n+1}\vektor{n+1 \\ n+2} [/mm] (weil n+2 > n+1 wird der 2. Teil 0)
= [mm] \bruch{1}{n+2}*[\summe_{k=0}^{n}(-1)^k\vektor{n+1 \\ k+1}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{n+2}*[\summe_{k=0}^{n}(-1)^k[\vektor{n \\ k}+\vektor{n \\ k+1}]
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{n+2}*[\summe_{k=0}^{n}(-1)^k\vektor{n \\ k}+ \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k+1}] [/mm] (nach Bin. Lehrsatz für x=1 und y= -1, wird der 1. Teil 0)
übrig bleibt:
= [mm] \bruch{1}{n+2}\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k+1}
[/mm]
richtig cool wäre es, wenn die Summe einfach 1 wäre, dann hätte ich nämlich den Induktionsschluss bewíesen weil nur noch das hier übrig bleibt: [mm] \bruch{1}{n+2}=\bruch{1}{(n+1)+1}
[/mm]
naja..
ich hab so viel rumprobiert. Ich wünschte ich wäre auf die Lösung gekommen, aber weiter komm ich einfach nicht und einen Fehler habe ich nicht gefunden.
Vielleicht findet jmd von euch einen Fehler oder gibt mir einen Tipp wie ich weiter machen kann. Und sorry dafür das ich es nicht so ordentlich aufgeschrieben habe, ich hoffe man sieht was ich gemacht habe.
liebe Grüße
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Hallo kullinarisch,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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> Zeige das [mm]\forall[/mm] n aus [mm]\IN[/mm] gilt:
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^{k}}{k+1}\vektor{n \\ k}=\bruch{1}{n+1}[/mm]
>
> Ich hänge an einer Stelle fest, am besten ich schreibe mal
> den Weg bis dahin auf.
>
> zuerst hab ich die Voraussetzung umgeschrieben:
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^{k}}{k+1}\vektor{n \\ k}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{1}{n+1}*\summe_{k=0}^{n}(-1)^k\vektor{n+1 \\ k+1}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{1}{n+1}*[\summe_{k=0}^{n}(-1)^k\vektor{n \\ k}+\summe_{k=0}^{n}(-1)^k\vektor{n \\ k+1}][/mm]
Der Laufindex der zweiten Summe läuft doch nur bis n-1:
[mm]\bruch{1}{n+1}*[\summe_{k=0}^{n}(-1)^k\vektor{n \\ k}+\summe_{k=0}^{n\red{-1}}(-1)^k\vektor{n \\ k+1}][/mm]
>
> so.. für x=1 und y =-1 kann man den 1. Teil in der
> Klammer als den Binomischen Lehrsatz interpretieren, also:
> [mm]\summe_{k=0}^{n}(-1)^k\vektor{n \\ k}=(x+y)^n=(1+(-1))^n=0[/mm]
> (dachte ich mir zumindest) also fällt dieser Teil in der
> Klammer weg:
>
> = [mm]\bruch{1}{n+1}*[0[/mm] + [mm]\summe_{k=0}^{n}(-1)^k\vektor{n \\ k+1}][/mm]
>
> so und jetzt gehe ich zum Hauptteil über (n->n+1):
> dann erhalte ich:
>
> = [mm]\bruch{1}{n+2}*\summe_{k=0}^{n+1}(-1)^k\vektor{n+1 \\ k+1}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{n+2}*[\summe_{k=0}^{n}(-1)^k\vektor{n+1 \\ k+1}+(-1)^{n+1}\vektor{n+1 \\ n+2}[/mm]
> (weil n+2 > n+1 wird der 2. Teil 0)
> = [mm]\bruch{1}{n+2}*[\summe_{k=0}^{n}(-1)^k\vektor{n+1 \\ k+1}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{n+2}*[\summe_{k=0}^{n}(-1)^k[\vektor{n \\ k}+\vektor{n \\ k+1}][/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{n+2}*[\summe_{k=0}^{n}(-1)^k\vektor{n \\ k}+ \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k+1}][/mm]
> (nach Bin. Lehrsatz für x=1 und y= -1, wird der 1. Teil
> 0)
>
> übrig bleibt:
>
> = [mm]\bruch{1}{n+2}\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k+1}[/mm]
>
Auch hier:
[mm]\bruch{1}{n+2}\summe_{k=0}^{n\red{-1}} \left(-1\right)^{k}\vektor{n \\ k+1}[/mm]
Hier musst Du den gleichen Kniff wie oben anwenden.
[mm]\summe_{k=0}^{n-1}\left(-1\right)^{k}} \vektor{n \\ k+1}[/mm]
Stünde hier [mm]\summe_{k=\blue{-1}}^{n} \left(-1\right)^{k\blue{+1}}\vektor{n \\ k+1}[/mm], dann wäre dies 0.
Um auf die vorstehende Summe zu kommen ist demnach eine Korrektur notwendig:
[mm]\summe_{k=\blue{-1}}^{n-1} \left(-1\right)^{k\blue{+1}}\vektor{n \\ k+1}=\left(-1\right)^{-1+1}}\vektor{n \\ -1+1}+\summe_{k=0}^{n-1}
\left(-1\right)^{k\blue{+1}}\vektor{n \\ k+1}=0[/mm]
> richtig cool wäre es, wenn die Summe einfach 1 wäre, dann
> hätte ich nämlich den Induktionsschluss bewíesen weil
> nur noch das hier übrig bleibt:
> [mm]\bruch{1}{n+2}=\bruch{1}{(n+1)+1}[/mm]
>
> naja..
>
> ich hab so viel rumprobiert. Ich wünschte ich wäre auf
> die Lösung gekommen, aber weiter komm ich einfach nicht
> und einen Fehler habe ich nicht gefunden.
> Vielleicht findet jmd von euch einen Fehler oder gibt mir
> einen Tipp wie ich weiter machen kann. Und sorry dafür das
> ich es nicht so ordentlich aufgeschrieben habe, ich hoffe
> man sieht was ich gemacht habe.
>
> liebe Grüße
>
Gruss
MathePower
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Danke, das ging ja schnell! :)
das mit dem Laufindex am Anfang leuchtet mir ein. Nur kann ich dir danach nicht mehr folgen, weil ich nicht weiß wo du danach ansetzt. Die Rechnung müsste doch falsch sein!?
Korrigiere ich den Laufindex auf n-1 so erhält meine Rechnung eine ganz andere Richtung.. und ich kann das, was du am Ende noch korrigiert hast, nicht mehr einordnen.
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Hallo kullinarisch,
> Danke, das ging ja schnell! :)
> das mit dem Laufindex am Anfang leuchtet mir ein. Nur kann
> ich dir danach nicht mehr folgen, weil ich nicht weiß wo
> du danach ansetzt. Die Rechnung müsste doch falsch sein!?
> Korrigiere ich den Laufindex auf n-1 so erhält meine
> Rechnung eine ganz andere Richtung.. und ich kann das, was
> du am Ende noch korrigiert hast, nicht mehr einordnen.
>
Es gilt doch
[mm]\summe_{k=0}^{n}(-1)^k\vektor{n \\ k+1}=\summe_{k=0}^{n-1}(-1)^k\vektor{n \\ k+1}[/mm]
,da [mm]\vektor{n \\ n+1}=0[/mm]
Gruss
MathePower
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Vielen Dank! Ich hab nun alles verstanden!
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