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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:48 Mi 24.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Andre,
> so nun lautet meine Frage, wieso ist das so ?
> Die allgemeine Formel ist mir bekannt, ich möchte es nur
> verstehen und nicht hinnehmen,
Super! Es gibt leider viel zu viele Schüler, die nur fertige Formeln haben und sich keine Gedanken darüber machen wollen!
Die gesuchte Anzahl ist die Anzahl der Auswahlen von 2 der 10 Plätze, auf die die fehlerhaften Kerzen platziert werden sollen.
Um die 2 Plätze für die fehlerhaften Kerzen auszuwählen, kann man nacheinander die 2 Kerzen auf jeweils einen der 10 Plätze platzieren. Man hat für die erste der Kerze 10 Plätze zur Auswahl, für die zweite 9. Macht $10*9$ mögliche Platzierungen der 2 Kerzen.
Aber verschiedene Platzierungen der 2 Kerzen ergeben die gleiche Auswahl der 2 Plätze: Ob wir die erste Kerze auf Platz 5 und die zweite Kerze auf Platz 7 packen, oder die erste Kerze auf Platz 7 und die zweite auf Platz 5 platzieren: Wir haben die gleichen 2 Plätze ausgewählt. Wir haben also Auswahlen von zwei Plätzen mehrfach gezählt.
Wie oft haben wir z.B. die Auswahl der Plätze 5 und 7 gezählt? Wie viele Möglichkeiten gibt es also, die 2 Kerzen auf die Plätze 5 und 7 zu verteilen? 2 Möglichkeiten für die erste Kerze, 1 für die zweite. Macht insgesamt $2*1$ Möglichkeiten. Wir haben also die Auswahl der Plätze 5 und 7 $2*1$ mal gezählt.
Genauso kann man natürlich mit jeder Auswahl von 2 Plätzen argumentieren, nicht nur mit der Auswahl der Plätze 5 und 7. Wir haben also jede Auswahl von 2 Plätzen $2*1$ mal gezählt. Um das wieder gut zu machen, müssen wir durch $2*1$ teilen.
Es ergibt sich als gesuchte Anzahl der Auswahlen von 2 Plätzen: [mm] $\bruch{10*9}{2*1}$.
[/mm]
Diese Zahl können wir noch etwas umschreiben, indem wir zunächst mit [mm] $8*7*\ldots*2*1$ [/mm] erweitern: [mm] $\bruch{10*9}{2*1}=\bruch{10*9*8*7*\ldots*2*1}{(2*1)*(8*7*\ldots*2*1)}=\bruch{10!}{2!*8!}$.
[/mm]
War das halbwegs verständlich? Ansonsten hätte ich noch eine Variante der Erklärung auf Lager.
Viele Grüße
Tobias
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