Binominalvert.- Ueberbuchung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 Do 05.02.2009 | | Autor: | manu1985 |
| Aufgabe | Ein Hotel hat 300 Zimmer. Das Hotel macht, wie auch viele Fluggesellschaften, ueberbuchungen um eine maximale AUslastung zu gewaehrleisten. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Hotelgast nicht erscheint ist 0.15%.
a) Finde die groesste Anzahl von Zimmerreservationen die das Hotel annehmen kann, wenn es mindestens 95% der Hotelgaeste die erscheinen ein Zimmer zur verfuegung stellen moechte.
b) Rechne mit der Anzahl der Reservationen aus a) weiter. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind mindestens 90% der Zimmer belegt?
c) Rechne mit der Anzahl der Reservationen aus a) weiter. Mit welcher wahrscheinlichkeit sind hoechstens 80% belegt?
d) WIe aendert sich deine Antwort zu a), wenn das Hotel nicht 95% sondern 97% ein Zimmer zur Verfuegung stellen moechte
e) WIe aendert sich deine Antwort zu Frage a), wennsich die Anzahl der Stornierungen zwischen 5% und 25% befinden? (95% werden ein Zimmer angeboten) |
Kann mir jemand sagen, wie ich da ansetzen muss?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:33 Do 05.02.2009 | | Autor: | manu1985 |
mein Ansatz zu a ist:
85% kommen
0.15 kommen nicht
wunsch: 95% der Kommenden annehmen
X Anzahl der angenommenen Buchungen
K= 300
0.85*X=0.95*K
Bin mir aber nicht sicher, ob das richtig ist.
Bei den anderen Aufgaben habe ich leider keinen Ansatz
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> mein Ansatz zu a ist:
>
> 85% kommen
> 0.15 kommen nicht
was war nun wirklich gemeint:
0.15% der angemeldeten Gäste kommen nicht
(wie du ursprünglich geschrieben hast)
oder
15% der angemeldeten Gäste kommen nicht
???
Und nun habe ich noch eine Frage zur Aufgaben-
stellung, die sich vielleicht doch von jener bei
überbuchten Flügen unterscheidet:
Soll nun die Wahrscheinlichkeit, dass man einem
einzelnen Gast ein Zimmer anbieten kann, über
95% liegen oder die Wahrscheinlichkeit, dass
man alle erschienen Gäste beherbergen kann ?
Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:35 Do 05.02.2009 | | Autor: | manu1985 |
Sorry, hab mich vertippt. Wie urspruenglich. 0,15% kommen nicht.
Ausserdem denke ich, dass das pro Buchung gemeint ist und jede Buchung 1 Zimmer zugewiesen wird. (genau wie bei den Flugzeugsitzen)
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> Sorry, hab mich vertippt. Wie urspruenglich. 0,15% kommen
> nicht.
Ich habe in meiner Antwort die Rechnungen jetzt aber mit
15% gemacht. Und wenn ich die letzte Aufgabe betrachte
(Stornierungen zwischen 5% und 25%), so tendiere ich
immer noch zu den 15% ...
> Ausserdem denke ich, dass das pro Buchung gemeint ist und
> jede Buchung 1 Zimmer zugewiesen wird. (genau wie bei den
> Flugzeugsitzen)
Das habe ich auch so angenommen. Ich kenne nur bei
der Flugzeug-Aufgabe eine andere Fragestellung als hier
unter a, nämlich:
Wie viele Überbuchungen auf einen Flug kann die Airline
maximal annehmen, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass
überhaupt irgendjemand von den angereisten Flug-
gästen am Flughafen steckenbleibt, z.B. kleiner als fünf
Prozent sein soll ?
Eine Airline, die ständig in Kauf nehmen würde, 5%
ihrer Kunden vor den Kopf zu stossen, wäre bestimmt
ganz bald weg vom Fenster !
Gruß Al-Chw.
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> Ein Hotel hat 300 Zimmer. Das Hotel macht, wie auch viele
> Fluggesellschaften, ueberbuchungen um eine maximale
> AUslastung zu gewaehrleisten. Die Wahrscheinlichkeit, dass
> der Hotelgast nicht erscheint ist 0.15%. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Habe ich richtig gelesen: 0.15%, also P(kommt nicht)=0.0015
oder P(Gast kommt)=0.9985 !
Oder ist etwa 15%, d.h. P(Gast kommt)=0.85 gemeint ?
Ich vermute eher die zweite Variante, denn der kleine
Ausfall im ersten Fall würde es kaum sinnvoll machen,
überhaupt Überbuchungen zu akzeptieren.
Hier ist vor allem wichtig, zunächst die geeigneten
Bezeichnungen festzulegen. Statistisch gesehen handelt
es sich um einen Bernoulliversuch. Wir müssen zuerst
festlegen, was n,p und X bedeuten sollen. Für n dürfen
wir hier nicht etwa 300 nehmen, sondern die Anzahl
der angenommenen Reservationen, die grösser als 300
sein darf. p sei die Wahrscheinlichkeit, dass ein ange-
meldeter Gast auch wirklich kommt, und X die Anzahl
der Gäste, die tatsächlich erscheinen.
> a) Finde die groesste Anzahl von Zimmerreservationen die
> das Hotel annehmen kann, wenn es mindestens 95% der
> Hotelgaeste die erscheinen ein Zimmer zur Verfuegung
> stellen moechte.
Das ist eigentlich noch gar keine Frage zur Wahrscheinlich-
keitsrechnung. Wenn alle angemeldeten Gäste, also n,
kommen, müsste [mm] n*0.95\le [/mm] 300 sein. Daraus findet man
[mm] n_{max}=315. [/mm]
Für die folgenden Rechnungen ersetzen wir die
Binomialverteilung durch eine Normalverteilung mit
$\ E(X)=n*p$ $\ V(X)=n*p*(1-p)$ [mm] $\sigma=\wurzel{n*p*(1-p)}$
[/mm]
Mit $\ p=0.85$ und [mm] n=n_{max}=315 [/mm] bedeutet dies:
$\ E(X)=267.75$ $\ V(X)=40.16$ [mm] $\sigma=6.34$
[/mm]
> b) Rechne mit der Anzahl der Reservationen aus a) weiter.
> Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind mindestens 90% der
> Zimmer belegt?
Mit den oben berechneten Parametern E(X) und [mm] \sigma
[/mm]
berechnet man nun [mm] P(X\ge [/mm] 0.9*300)
> c) Rechne mit der Anzahl der Reservationen aus a) weiter.
> Mit welcher wahrscheinlichkeit sind hoechstens 80% belegt?
also [mm] P(X\le [/mm] 0.8*300)
> d) WIe aendert sich deine Antwort zu a), wenn das Hotel
> nicht 95% sondern 97% ein Zimmer zur Verfuegung stellen
> moechte
gleiche Aufgabe, neue Zahlen
> e) WIe aendert sich deine Antwort zu Frage a), wennsich die
> Anzahl der Stornierungen zwischen 5% und 25% befinden?
> (95% werden ein Zimmer angeboten)
Ich muss gestehen, dass ich jetzt wieder etwas verwirrt
bin durch die Aufgabenstellung. Oben bin ich davon ausge-
gangen, dass die Hoteldirektion mit Sicherheit (also auch
dann, wenn alle angemeldeten Gäste kommen) mindestens
95% der erschienenen Gäste ein Zimmer anbieten will.
Wenn man davon ausgehen kann, dass mit Sicherheit
jeweils mindestens 5% gar nicht erscheinen, könnte man
natürlich n weiter erhöhen (auf 332).
Ich vermisse also bei der Aufgabe doch ein wenig Klarheit.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:05 Do 05.02.2009 | | Autor: | manu1985 |
Vielen Dank schon einmal!
Bei der letzten Aufgabe muss man die 15% von den Leuten die nicht kommen (Aufgabentext) nun zwischen 5% und 25% variiert. (Man muss also die 95% denen ein Zimmer gegeben werden soll beibehalten)
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> Vielen Dank schon einmal!
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> Bei der letzten Aufgabe muss man die 15% von den Leuten die
> nicht kommen (Aufgabentext) nun zwischen 5% und 25%
> variieren. (Man muss also die 95% denen ein Zimmer gegeben
> werden soll beibehalten)
Hallo Daniela,
So hab ichs mir auch einmal gedacht. Es handelt sich
also einfach um andere Schätzungen der Wahrschein-
lichkeit q=1-p (vielleicht für verschiedene Saisons oder
für andere Hotels). Das Erscheinen oder Nichterscheinen
ist aber nach wie vor zufallsgesteuert. Es ist damit zu
rechnen, dass auch einmal alle Gäste kommen. Wenn
die Hoteliers garantieren wollen, stets höchstens 5%
der erschienenen Gäste abzuweisen, muss deshalb die
Obergrenze
$\ [mm] n_{max}= \left\lfloor \bruch{300}{0.95}\right\rfloor [/mm] \ =\ 315$
wohl so bestehen bleiben.
Schönen Abend !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:25 Do 05.02.2009 | | Autor: | manu1985 |
Hallo Al-Chwarizmi!
Muss ich nicht evtl. schon bei a) die Leute mitreinrechnen, die nicht kommen. Das heisst 15% von den 300.
Also habe ich eine Ausgangsbuchung von (345/0.95) und somit bei a) 363 Buchungen.
Dann macht die Frage e) auch Sinn.
Vielen Dank fuer deine Hilfe!
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> Hallo Al-Chwarizmi!
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> Muss ich nicht evtl. schon bei a) die Leute mitreinrechnen,
> die nicht kommen. Das heisst 15% von den 300.
Diese 15% bedeuten ja nicht, dass immer 15% nicht kommen,
sondern nur: im langjährigen Mittel kommen durchschnittlich
15% nicht. Es könnte aber sein, dass an einem bestimmten
Tag trotzdem alle kommen, die gebucht haben. Würden bei
363 Buchungen (ich habe diese Zahl nicht überprüft) alle
kommen, hätten also nur 82.6% Platz, also viel weniger als
95%.
Die Fragestellung, die wir haben, lautet:
a) Finde die groesste Anzahl von Zimmerreservationen die
das Hotel annehmen kann, wenn es mindestens 95% der
Hotelgäste die erscheinen ein Zimmer zur Verfügung
stellen moechte.
Aber wie schon deutlich gemacht, müsste ich dich für Fragen,
wie denn die Aufgabe eigentlich genau gemeint war, an den
Autor der Aufgabe verweisen.
LG
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