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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:25 Di 09.11.2004 | | Autor: | Rahul_N |
Aufgabe:
Es seien [mm] \alpha [/mm] := 2 + [mm] \wurzel{2} [/mm] , [mm] \beta [/mm] := 2 - [mm] \wurzel{2}, [/mm] und für x [mm] \in \IZ [/mm] die eindeutig bestimmte ganze Zahl mit
[x] [mm] \le [/mm] < [x] + 1
Man zeige
[mm] \alpha^{n} [/mm] + [mm] \beta^{n} [/mm] = [mm] [\alpha^{n}] [/mm] + 1 [mm] \in \IN
[/mm]
naja ich hab mir überlegt dass [mm] \beta^{n} [/mm] immer kleiner als 1 ist damit ist
[mm] [\beta^{n}] [/mm] immer 0 . damit ist zumindest gezeigt dass
[mm] \alpha^{n} [/mm] + [mm] \beta^{n} [/mm] = [mm] [\alpha^{n}] [/mm] + 1
wie zeig ich aber dass [mm] \alpha^{n} [/mm] + [mm] \beta^{n} \n \IN [/mm] ist???
(x [mm] +y)^n [/mm] kann man binomisch zerlegen aber [mm] (x-y)^n [/mm] ???
bitte um hilfe
Gruss Rahul
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Gruß!
Ich kann Deinen Beweis nicht nachvollziehen... woraus genau hast Du gefolgert, dass die Gleichheit
[mm] $\alpha^n [/mm] + [mm] \beta^n [/mm] = [mm] [\alpha^n] [/mm] + 1$ gilt? Denn die rechte Seite ist nach Definition eine natürliche Zahl und wenn Du die Gleichheit hast, dann ist es auch die linke Seite...
Und natürlich gibt es eine binomische Formel für Differenzen. Es gilt doch:
$(x [mm] -y)^n [/mm] = (x + [mm] (-y))^n [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^n [/mm] {n [mm] \choose [/mm] k} [mm] x^{n-k} (-1)^k y^k$
[/mm]
Viel Glück!
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:53 Mi 10.11.2004 | | Autor: | Rahul_N |
Ok danke :) dass die binomische Formel auch für negative zahlen gilt, daran hab ich nicht gedacht. Das macht es natürlich viel leichter zu zeigen dass es eine ganze Zahl ist.
Rahul
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