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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:53 Mo 01.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | Man zeige für alle natürlichen Zahlen n [mm] \ge [/mm] 1:
[mm] 2^{2n} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n} \vektor{2n+1 \\ 2i} [/mm] |
Hallo,
hab doch einige Schwierigkeiten mit dem Beweis und zwar konnte ich bereits zeigen mithilfe des Binomischen Lehrsatzes, dass [mm] 2^{2n}= 2\summe_{i=0}^{n} \vektor{2n \\ 2i} [/mm] ist. Also ist [mm] 2^{2n} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n} \vektor{2n \\ 2i} [/mm] + [mm] \summe_{i=0}^{n} \vektor{2n \\ 2i}= \summe_{i=0}^{n} (\vektor{2n \\ 2i} [/mm] + [mm] \vektor{2n \\ 2i}). [/mm] Aber an der Stelle häng ich nun und weiß nich, wie ich weiter machen soll. Wäre schön, wenn mir jmd. nen Tipp geben könnte...
Viele Grüße
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Hallo ms2008de,
> Man zeige für alle natürlichen Zahlen n [mm]\ge[/mm] 1:
> [mm]2^{2n}[/mm] = [mm]\summe_{i=0}^{n} \vektor{2n+1 \\ 2i}[/mm]
> Hallo,
> hab doch einige Schwierigkeiten mit dem Beweis und zwar
> konnte ich bereits zeigen mithilfe des Binomischen
> Lehrsatzes, dass [mm]2^{2n}= 2\summe_{i=0}^{n} \vektor{2n \\ 2i}[/mm]
Ich komme hier auf:
[mm]2^{2n}=\left(1+1\right)^{2n}=\summe_{k=0}^{2n}\pmat{2n \\ k} *1^{k}*1^{2n-k}=\summe_{k=0}^{2n}\pmat{2n \\ k} *1^{2n}=\summe_{k=0}^{2n}\pmat{2n \\ k}[/mm]
Nutzen wir die Symmetrieeigenschaften der Binomialkoeffizienten aus:
[mm]\pmat{2n \\ k}=\pmat{2n \\ 2n-k}[/mm]
Der Koeffizient für k=n tritt nur einmal auf.
Demnach ergibt sich:
[mm]2^{2n}=\summe_{k=0}^{2n}\pmat{2n \\ k}=\summe_{k=0}^{n-1}\pmat{2n \\ k}+\pmat{2n \\ n}[/mm]
> ist. Also ist [mm]2^{2n}[/mm] = [mm]\summe_{i=0}^{n} \vektor{2n \\ 2i}[/mm] +
> [mm]\summe_{i=0}^{n} \vektor{2n \\ 2i}= \summe_{i=0}^{n} (\vektor{2n \\ 2i}[/mm]
> + [mm]\vektor{2n \\ 2i}).[/mm] Aber an der Stelle häng ich nun und
> weiß nich, wie ich weiter machen soll. Wäre schön, wenn mir
> jmd. nen Tipp geben könnte...
>
> Viele Grüße
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 Mo 01.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Sorry, aber ich komm gerade nich wirklich dahinter, was du in dem letzten Schritt getan hast:
[mm] \summe_{k=0}^{2n} \vektor{2n \\ k}= \summe_{k=0}^{n-1} \vektor{2n \\ k} [/mm] + [mm] \vektor{2n \\ n} [/mm] ??? und ich weiß auch nich, in wie fern mir das jetz weiterhilft beim Beweis. Stimmt diese Formel denn überhaupt, für n = 3
komm ich auf: [mm] \summe_{k=0}^{6} \vektor{6 \\ k}=64 [/mm] und auf der andern Seite: [mm] \summe_{k=0}^{2} \vektor{4 \\ k} [/mm] + [mm] \vektor{4 \\ 2}= [/mm] 17
Vllt. könnt nochmal jmd. sich die Mühe machen, vielen Dank dennoch schonmal bis dahin.
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Hallo ms2008de,
> Sorry, aber ich komm gerade nich wirklich dahinter, was du
> in dem letzten Schritt getan hast:
> [mm]\summe_{k=0}^{2n} \vektor{2n \\ k}= \summe_{k=0}^{n-1} \vektor{2n \\ k}[/mm]
> + [mm]\vektor{2n \\ n}[/mm] ??? und ich weiß auch nich, in wie fern
> mir das jetz weiterhilft beim Beweis
> Vllt. könnt nochmal jmd. sich die Mühe machen, vielen Dank
> dennoch schonmal bis dahin.
Das muß hier natürlich heißen:
[mm]\summe_{k=0}^{2n} \vektor{2n \\ k}= \left( \ \blue{2}*\summe_{k=0}^{n-1} \vektor{2n \\ k} \ \right)+\pmat{2n \\ n}[/mm]
>
>
>
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:09 Mo 01.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Danke, aber auch diese korrigierte Formel bringt mich beim Beweis überhaupt kein bisschen weiter.
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> Man zeige für alle natürlichen Zahlen n [mm]\ge[/mm] 1:
> [mm]2^{2n}[/mm] = [mm]\summe_{i=0}^{n} \vektor{2n+1 \\ 2i}[/mm]
> Hallo,
> hab doch einige Schwierigkeiten mit dem Beweis und zwar
> konnte ich bereits zeigen mithilfe des Binomischen
> Lehrsatzes, dass [mm]2^{2n}= 2\summe_{i=0}^{n} \vektor{2n \\ 2i}[/mm]
> ist. Also ist [mm]2^{2n}[/mm] = [mm]\summe_{i=0}^{n} \vektor{2n \\ 2i}[/mm] +
> [mm]\summe_{i=0}^{n} \vektor{2n \\ 2i}= \summe_{i=0}^{n} (\vektor{2n \\ 2i}[/mm]
> + [mm]\vektor{2n \\ 2i}).[/mm] Aber an der Stelle häng ich nun und
> weiß nich, wie ich weiter machen soll. Wäre schön, wenn mir
> jmd. nen Tipp geben könnte...
>
> Viele Grüße
Hallo ms,
ich habe mir mal das Beispiel mit n=4 angeschaut.
Dann ergibt sich die Summe
[mm] S=\vektor{9\\0}+\vektor{9\\2}+\vektor{9\\4}+\vektor{9\\6}+\vektor{9\\8}
[/mm]
und, wegen der Symmetrie, die auch schon MathePower
genannt hat, gilt auch:
[mm] S=\vektor{9\\9}+\vektor{9\\7}+\vektor{9\\5}+\vektor{9\\3}+\vektor{9\\1}
[/mm]
Addiert man nun diese beiden Zeilen, so hat man:
[mm] 2*S=\summe_{i=0}^{9}\vektor{9\\i}
[/mm]
und dies entspricht nach dem binomischen Satz dem
Ergebnis von [mm] (1+1)^9, [/mm] also [mm] 2^9 [/mm] . Es ist also [mm] 2*S=2^9
[/mm]
und demzufolge [mm] S=2^8.
[/mm]
Für beliebige [mm] n\in \IN [/mm] sollte sich diese Überlegung ganz
einfach übertragen lassen.
Gruß Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:19 Mo 01.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Danke vielmals, jetz hab ichs endlich verstanden
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