Bionomialverteilung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Fr 23.09.2011 | | Autor: | Mathics |
| Aufgabe | (1) In einer Bevölkerungsgruppe haben 70% der Erwachsenen einen Führerschein. 10 erwachsene Personen werden zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter diesen 10 Befragten genau 7 Personen einen Führerschein besitzen.
(2) 21 von 30 Kindern einer Klasse kommen mit dem Bus zur Schule. Für eine Befragung werden 10 von 30 Kindern zufällig ausgewählt. Untersuchen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit unter den 10 Befragten genau 7 Kinder sind, die mit dem Bus zu Schule kommen.
(3) Erläutern Sie den Unterschied bei den Berechnungen der Wahrscheinlichkeiten in (1) und (2). Begründen Sie, warum man in (1) einen Binomialansatz verwenden darf und in (2) nicht. |
Hallo,
zu (1) habe ich folgendes gemacht:
[Hinweis: Das erste ist kein Vektor!]
[mm] \vektor{21 \\ 7} [/mm] * [mm] (7/10)^7 [/mm] * [mm] (3/10)^3 [/mm] = 0,2668 = 26,68%
Zu (2) :
Ich weiß da ehrlich gesagt nicht so recht wie ich da ansetzen soll, denn auch in Aufgabe (3) wird ja gesagt, dass man bei (2) nicht so wie bei (1) vorgehen kann, somit also keinen Binomialansatz machen kann.
Wieso kann man denn keinen Binomialansatz machen?
Für mich würden für (2) 2 Wege in Frage kommen.
21/30 ist ja so wie 7/10 also so wie 70%. Deshalb:
1. [mm] \vektor{10 \\ 7} [/mm] * [mm] (21/30)^7 [/mm] * [mm] (9/30)^3 [/mm] = 0,2668 = 26,68%
2. [mm] \vektor{21 \\ 7} [/mm] * [mm] (21/30)^7 [/mm] * (9/30)^14 = 0,00046 = 0,05%
Zu (3): Liegt das vielleicht daran, dass bei (2) eine begrenzte Zahl von 30 gegeben ist und bei (1) das offen ist?
Danke.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:02 Fr 23.09.2011 | | Autor: | abakus |
> (1) In einer Bevölkerungsgruppe haben 70% der Erwachsenen
> einen Führerschein. 10 erwachsene Personen werden
> zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit
> dafür, dass unter diesen 10 Befragten genau 7 Personen
> einen Führerschein besitzen.
>
> (2) 21 von 30 Kindern einer Klasse kommen mit dem Bus zur
> Schule. Für eine Befragung werden 10 von 30 Kindern
> zufällig ausgewählt. Untersuchen Sie, mit welcher
> Wahrscheinlichkeit unter den 10 Befragten genau 7 Kinder
> sind, die mit dem Bus zu Schule kommen.
>
> (3) Erläutern Sie den Unterschied bei den Berechnungen der
> Wahrscheinlichkeiten in (1) und (2). Begründen Sie, warum
> man in (1) einen Binomialansatz verwenden darf und in (2)
> nicht.
> Hallo,
>
> zu (1) habe ich folgendes gemacht:
> [Hinweis: Das erste ist kein Vektor!]
>
> [mm]\vektor{21 \\ 7}[/mm] * [mm](7/10)^7[/mm] * [mm](3/10)^3[/mm] = 0,2668 = 26,68%
>
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> Zu (2) :
>
> Ich weiß da ehrlich gesagt nicht so recht wie ich da
> ansetzen soll, denn auch in Aufgabe (3) wird ja gesagt,
> dass man bei (2) nicht so wie bei (1) vorgehen kann, somit
> also keinen Binomialansatz machen kann.
>
> Wieso kann man denn keinen Binomialansatz machen?
>
> Für mich würden für (2) 2 Wege in Frage kommen.
>
> 21/30 ist ja so wie 7/10 also so wie 70%. Deshalb:
>
> 1. [mm]\vektor{10 \\ 7}[/mm] * [mm](21/30)^7[/mm] * [mm](9/30)^3[/mm] = 0,2668 =
> 26,68%
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> 2. [mm]\vektor{21 \\ 7}[/mm] * [mm](21/30)^7[/mm] * (9/30)^14 = 0,00046 =
> 0,05%
>
>
> Zu (3): Liegt das vielleicht daran, dass bei (2) eine
> begrenzte Zahl von 30 gegeben ist und bei (1) das offen
> ist?
Ja. Wenn das erste befragte Kind ein "Buskind" ist, weiß man, dass unter den verbleibenden 29 Kindern nur noch 20 andere Buskinder sind.
Dann ist bei der zweiten Befragung die Wahrscheinlichkeit für ein Buskind nicht mehr 21/30, sondern 20/29. Somit handelt es sich nicht mehr um eine Bernoulli-Kette, weil sich bei der Wiederholung des Bernoulli-Experiments die Trefferwahrscheinlichkeit ständig ändert.
Gruß Abakus
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> Danke.
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> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Fr 23.09.2011 | | Autor: | Mathics |
Dann ist es doch eine Wahrscheinlichkeit von 32,51 % oder?
Ich habe nämlich gemacht:
[Hinweis: [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] ist Binomialkoeffizient]
[mm] \vektor{21 \\ 7} [/mm] * [mm] \vektor{9\\ 3} [/mm] / [mm] \vektor{30 \\ 10} [/mm] = 0,3251 = 32,51%
Ist das so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Fr 23.09.2011 | | Autor: | abakus |
> Dann ist es doch eine Wahrscheinlichkeit von 32,51 % oder?
>
> Ich habe nämlich gemacht:
> [Hinweis: [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] ist Binomialkoeffizient]
>
> [mm]\vektor{21 \\ 7}[/mm] * [mm]\vektor{9\\ 3}[/mm] / [mm]\vektor{30 \\ 10}[/mm] =
Mal sehen, ob das stimmen kann.
Die Wahrscheinlichkeit, dass genau die ersten 7 Kinder mit dem Bus fahren und die anderen 3 nicht, beträgt
[mm] \red{\bruch{21}{30}*\bruch{20}{29}*\bruch{19}{28}*\bruch{18}{27}*\bruch{17}{26}*\bruch{16}{25}*\bruch{15}{24}}*\blue{\bruch{9}{23}*\bruch{8}{22}*\bruch{7}{21}}
[/mm]
Die Wahrscheinlichkeit für jede andere Reihenfolge von 7 Buskindern unter 10 befragten Kindern ist genau so hoch, und es gibt [mm]\vektor{10\\ 7}=\vektor{10\\ 3}=\bruch{10*9*8}{1*2*3}=120[/mm] mögliche Reihenfolgen.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt also
[mm] 120*\red{\bruch{21}{30}*\bruch{20}{29}*\bruch{19}{28}*\bruch{18}{27}*\bruch{17}{26}*\bruch{16}{25}*\bruch{15}{24}}*\blue{\bruch{9}{23}*\bruch{8}{22}*\bruch{7}{21}}.
[/mm]
Ob das mit deinem Ergebnis übereinstimmt, kannst du selbst ausrechnen.
Es handelt sich bei dieser Aufgabe um "Ziehen ohne Zurücklegen" oder, wenn ihr das intensiver behandelt haben solltet, um eine "hypergeometrische Verteilung".
Gruß Abakus
> 0,3251 = 32,51%
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> Ist das so richtig?
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