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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:40 Mi 20.01.2010 | | Autor: | Gopal |
| Aufgabe | Zu gegebenen Zahlen [mm] a_{1} [/mm] und [mm] a_2 [/mm] sei eine Folge [mm] (a_n) [/mm] durch [mm] a_{n-2}=1/2(a_{n+1}+a_n) [/mm] definiert.
(a) Bestätigen Sie [mm] a_{n+2}-a_{n+1}=(-1/2)^n(a_2-a_1)
[/mm]
(b) Bestimmen Sie [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] in Abhänigkeit von [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] |
Hallo,
ich bearbeite gerade einige Aufgaben als Prüfungsvorbereitung und hätte gerne etwas feedback, ob das so passt, was ich mir hier zusammenreime.
Also a) war kein Problem mittels Induktion.
zu b) hab ich:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\limes_{n\rightarrow\infty}a_2+\summe_{i=3}^{n}(-1/2)^i (a_2-a_1)
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_2+(a_2-a_1)\summe_{i=3}^{n}(-1/2)^i
[/mm]
[mm] =a_2+(a_2-a_1)\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4}+\summe_{i=1}^{n}(-1/2)^i [/mm]
[mm] =a_2+(a_2-a_1)(\bruch {1}{1+\bruch{1}{2}}+\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4})
[/mm]
ich bin mir unsicher wegen des summationsindexes.
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 07:52 Do 21.01.2010 | | Autor: | Gopal |
der limes der geometrischen reihe ist ja für [mm] \summe_{i=0}^{n}(-\bruch {1}{2})^i [/mm] definiert. also müsste ich den Index von 3 auf null verschieben, also noch eine 1 abziehen. also für [mm] n\ge3:
[/mm]
[mm] a_n=a_2+\summe_{i=3}^{n}((-\bruch {1}{2})^i (a_2-a_1))=(a_2-a_1)(-1+\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4}+\summe_{i=0}^{n}(-\bruch {1}{2})^i)
[/mm]
richtig?
> Zu gegebenen Zahlen [mm]a_{1}[/mm] und [mm]a_2[/mm] sei eine Folge [mm](a_n)[/mm]
> durch [mm]a_{n-2}=1/2(a_{n+1}+a_n)[/mm] definiert.
>
> (a) Bestätigen Sie [mm]a_{n+2}-a_{n+1}=(-1/2)^n(a_2-a_1)[/mm]
> (b) Bestimmen Sie [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n[/mm] in
> Abhänigkeit von [mm]a_1[/mm] und [mm]a_2[/mm]
> Hallo,
>
> ich bearbeite gerade einige Aufgaben als
> Prüfungsvorbereitung und hätte gerne etwas feedback, ob
> das so passt, was ich mir hier zusammenreime.
>
> Also a) war kein Problem mittels Induktion.
> zu b) hab ich:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\limes_{n\rightarrow\infty}a_2+\summe_{i=3}^{n}(-1/2)^i (a_2-a_1)[/mm]
>
> =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_2+(a_2-a_1)\summe_{i=3}^{n}(-1/2)^i[/mm]
>
> [mm]=a_2+(a_2-a_1)\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4}+\summe_{i=1}^{n}(-1/2)^i[/mm]
> [mm]=a_2+(a_2-a_1)(\bruch {1}{1+\bruch{1}{2}}+\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4})[/mm]
>
> ich bin mir unsicher wegen des summationsindexes.
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:20 Sa 23.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:20 Fr 22.01.2010 | | Autor: | Gauss |
Hallo,
> Zu gegebenen Zahlen [mm]a_{1}[/mm] und [mm]a_2[/mm] sei eine Folge [mm](a_n)[/mm]
> durch [mm]a_{n-2}=1/2(a_{n+1}+a_n)[/mm] definiert.
Ich nehme an, du meinst: [mm]a_{n+2}=1/2(a_{n+1}+a_n)[/mm]
> (a) Bestätigen Sie [mm]a_{n+2}-a_{n+1}=(-1/2)^n(a_2-a_1)[/mm]
> (b) Bestimmen Sie [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n[/mm] in
> Abhänigkeit von [mm]a_1[/mm] und [mm]a_2[/mm]
> Hallo,
>
> ich bearbeite gerade einige Aufgaben als
> Prüfungsvorbereitung und hätte gerne etwas feedback, ob
> das so passt, was ich mir hier zusammenreime.
>
> Also a) war kein Problem mittels Induktion.
> zu b) hab ich:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\limes_{n\rightarrow\infty}a_2+\summe_{i=3}^{n}(-1/2)^i (a_2-a_1)[/mm]
Da [mm]a_{n+2}-a_{n+1}=(-1/2)^n(a_2-a_1)[/mm] gilt:
[mm]a_{n}=a_{n-1}+(-\bruch{1}{2})^{n-2}(a_{2}-a_{1})[/mm]
und damit:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\limes_{n\rightarrow\infty}a_2+\summe_{i=1}^{n}(-1/2)^i (a_2-a_1)[/mm]
Gruß, Gauss
> =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_2+(a_2-a_1)\summe_{i=3}^{n}(-1/2)^i[/mm]
>
> [mm]=a_2+(a_2-a_1)\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4}+\summe_{i=1}^{n}(-1/2)^i[/mm]
> [mm]=a_2+(a_2-a_1)(\bruch {1}{1+\bruch{1}{2}}+\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4})[/mm]
>
> ich bin mir unsicher wegen des summationsindexes.
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