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Hi,
ich soll, im black-scholes-modell, zeigen ob c als funktion von K konvex ist.
Es ist ja:
$ [mm] C(S,\tau)=SN(d_1)-Ke^{-r\tau}N(d_2) [/mm] $
mit
$ [mm] d_1=\bruch{\ln(\bruch{S}{K})+(r+ \bruch{1}{2}\sigma^2)\tau}{\sigma \wurzel{\tau}} [/mm] $
und
$ [mm] d_2= d_1-\sigma \wurzel{\tau} [/mm] $
ich müsste dann ja eigentlich die zweite ableitung von c berechnen und schauen ob die größer oder kleiner 0 ist.
leider bekomm ich die ableitungen nicht hin :(
ich hoffe mir kann jemand helfen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:46 Sa 01.10.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
für N(x) schreibe ich mal [mm] \Phi(x) [/mm] und meine damit die Standardnormalverteilung.
Deine Funktion lautet also
[mm] C(S,\tau)=S*\Phi(d_1)-K*e^{-r\tau}*\Phi(d_2)
[/mm]
Weiter gilt [mm] \bruch{\partial{}}{\partial{K}}d_2(K)=\bruch{\partial{}}{\partial{K}}d_1(K) [/mm] sowie
[mm] \bruch{\partial{}}{\partial{K}}\Phi(d)=\varphi(d)*\bruch{\partial{}}{\partial{K}}d(K) [/mm] mit [mm] \varphi(d)=\bruch{1}{2\pi}*e^{-\bruch{1}{2}d^2}
[/mm]
außerdem kann man durch nachrechnen bestätigen das gilt
[mm] S*\varphi(d_1)=K*e^{-r\tau}*\varphi(d_2)
[/mm]
Damit folgt
[mm] \bruch{\partial{}}{\partial{K}}C(K)=S*\varphi(d_1)*\bruch{\partial{}}{\partial{K}}d_1(K)-K*e^{-r\tau}*\varphi(d_2)*\bruch{\partial{}}{\partial{K}}d_2(K)-e^{-r\tau}*\Phi\left(d_2\right)=-e^{-r\tau}\Phi\left(d_2\right)
[/mm]
daraus folgt
[mm] \bruch{\partial{}^2}{\partial{K^2}}C(K)=\bruch{e^{-r\tau}*\varphi\left(d_2\right)}{K*\sigma*\wurzel{\tau}}>0 [/mm] gilt.
Also ist [mm] C(S,\tau) [/mm] konvex
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:27 Sa 01.10.2011 | | Autor: | Norbert15 |
vielen dank :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:05 Sa 01.10.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
siehe auch ![[]](/images/popup.gif) hier
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