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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:06 Sa 08.12.2007 | | Autor: | TTaylor |
| Aufgabe | Der Satz lautet: Ist [mm] {a_n} [/mm] eine Folge in U (U= {z:|z|<1})offene Einheitskreisscheibe in der komplexen Ebene)
mit [mm] a_n [/mm] != 0 und [mm]\summe_{n=1}^{N} (1-|a_n|)< unendlich
[/mm]
k eine nichtnegative ganze Zahl und
B(z) = [mm] z^k \produkt_{n=1}^{N} \bruch{a_n -z}{1-a'_nz} * \bruch{|a_n|}{a_n}
[/mm]
(z Element U)
dann ist B Element H (H= Raum der beschränkten holomorphen Funktionen in U), und B besitzt, außer in den Punkten [mm] a_n [/mm]( und im Ursprung, falls k>0 ist) keine Nullstellen. |
Der Beweis lautet:
[mm] \summe_{n=1}^{N} |1- \bruch{a_n -z}{1- a'_nz} *\bruch{|a_n|}{a_n}| [/mm]
ist [mm] | \bruch{a_n +|a_n|z}{(1- a'_nz)a_n}|* (1-|a_n|) =< \bruch{1+r}{1- r} * (1-|a_n|) [/mm]
wenn |z| =<r ist. Wie kann ich hieraus erkennen, dass B Element H ist und dass B nur die vorgegebenen Nullstellen besitzt?
Wo kommt dieses r her, für was soll es gut sein?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:17 Mo 10.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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