Blaschkes Produkt < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Sei $(b_{k})_{k \in \mathbb{N}$ eine Folge von Zahlen für die gilt : $\summe_{k=1}^{\infty}(1-|b_{k}|) < \infty$
Zeige , dass dann
$\produkt_{k=1}^{\infty} \frac{\overline{b_{k}}}{|b_k|}\frac{b_k - z}{1-\overline{b_k}z}$ lokal gleichmäßig auf $\mathbb{D}$ konvergiert. |
Hallo,
Also ich dachte mir, dass ich das über folgenden Zusammenhang zeige:
$\produkt_{i=1}^{\infty}a_i < \infty \gdw \sum_{i=1}^{\infty}log(a_{i}) < \infty$
damit nichts passieren kann sei mit log ab jetzt immer der Hauptzweig des komplexen Logarithmus gemeint.
für lokal gleichmäßige Konvergenz muss ich jetzt für |z|<1:
$|log(\frac{\overline{b_{k}}}{|b_k|}\frac{b_k - z}{1-\overline{b_k}z})|$
eine Abschätzung finden ... ich sehe jetzt aber überhaupt nicht, wie ich das am besten geschickt nach oben abschätzen könnte - habt ihr da Tipps ?
Lg Peter
|
|
| |
|
Vermutlich sollte in der Abschätzung irgendwas mit [mm] $1-|b_k|$ [/mm] vorkommen ... Dann könnte man die Blaschke Bedingung, also dass [mm] $\sum_{k=1}^{\infty}(1-|b_k|) [/mm] < [mm] \infty [/mm] $ ist einfließen lassen ....
Lg Peter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:09 Di 16.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Vermutlich sollte in der Abschätzung irgendwas mit [mm]1-|b_k|[/mm]
> vorkommen ... Dann könnte man die Blaschke Bedingung, also
> dass [mm]\sum_{k=1}^{\infty}(1-|b_k|) < \infty[/mm] ist einfließen
> lassen ....
>
> Lg Peter
Hier:
https://matheraum.de/read?i=1060389
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:43 Di 16.06.2015 | | Autor: | fred97 |
Wir setzen
[mm] B_k(z):=\bruch{\overline{b_k}}{|b_k|}*\bruch{b_k-z}{1-\overline{b_k}z}
[/mm]
(Blaschke-Faktor).
Ist nun $r [mm] \in [/mm] (0,1)$ und [mm] K_r:=\{z \in \IC: |z| \le r\}, [/mm] so ist zu zeigen, dass
(*) [mm] \produkt_{k=1}^{\infty}B_k(z) [/mm] auf [mm] K_r [/mm] gleichmäßig konvergiert.
Zeige dazu:
[mm] $|1-B_k(z)| \le \bruch{1+r}{1-r}*(1-|b_k|)$ [/mm] für alle $z [mm] \in K_r$ [/mm] und alle $k [mm] \in \IN$.
[/mm]
Dann folgt, dass
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}|1-B_k(z)| [/mm] auf [mm] K_r [/mm] gleichmäßig konvergiert.
Nun hattet Ihr sicher einen Satz, dass damit das Produkt in (*) auf [mm] K_r [/mm] gleichmäßig konvergiert.
FRED
|
|
|
| |
|
Hallo FRED,
Danke für deine ausführliche Antwort.
Also gut
[mm] $|B_{k}(z)-1| [/mm] = [mm] \bigl|\frac{|b_k|}{b_k}-\frac{b_{k}-z}{1-\overline{b_k}z}-\frac{b_k(1-\overline{b_k}z)}{b_k(1-\overline{b_k}z)} \bigl| [/mm] = [mm] (1-|b_k|)\Bigl|\frac{|b_k|z+b_k}{b_k(1-\overline{b_k}z)}\Bigl|$ [/mm] = [mm] (1-|b_k|)\Bigl|\frac{z+\frac{b_k}{|b_k|}}{1-\overline{b_k}z} \Bigl| \le (1-|b_k|)\frac{1+r}{1-r}$
[/mm]
ich hoffe das passt so?
Dann erhalten wir natürlich die gleichmäßige Konvergenz von
[mm] $\sum_{k=1}^{\infty}|B_k-1|$
[/mm]
Jetzt frage ich mich wieso eigentlich von lokal gleichmäßiger Konvergenz die Rede war ? Auf [mm] \mathbb{D} [/mm] ist die Konvergenz ja nicht nur lokal glm. ?
Leider kenne ich zwischen unendlichen Produkten und Reihen nur den Zusammenhang, den ich oben genannt habe - also das unendliche Produkt ist konvergent, wenn die Reihe der Logarithmen konvergent ist.
Aber du wirst mich sicher gleich eines besseren belehren ! :)
Lg Peter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:47 Fr 19.06.2015 | | Autor: | Peter_123 |
lediglich um die Frage am Leben zu halten - siehe oben.
Lg Peter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 So 21.06.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
Ich wäre noch immer an einer Antwort interessiert und stelle die frage um den thread wieder zu aktivieren
LG und danke
Peter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:59 Mo 22.06.2015 | | Autor: | Peter_123 |
Hat auch sonst keiner einen Verbesserungs / Erklärungsvorschlag?
Lg Peter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:20 Do 25.06.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
