Blockmatrix Induktion zeigen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien [mm]A \in \IK^{n\;\times\;n}, B \in \IK^{n\;\times\;m}[/mm] und [mm]C \in \IK^{m\;\times\;m}[/mm] Matrizen. Ferner sei M die Blockmatrix
[mm]M := \begin{pmatrix}
A & B \\
0 & C
\end{pmatrix}[/mm]
Zeigen sie mit Hilfe des Entwicklungssatzes, dass det(M) = det(A) * det(C) |
Hallo zusammen,
Mein Ansatz ist, per vollständiger Induktion die o.g. Aussage zu beweisen. Doch da beginnen schon die Probleme, denn ich habe ja 2 Variablen (m und n) die ich durchlaufen sollte.
Induktionsanfang:
n = 1, m = 1
[mm]\vmat{ a & b \\ 0 & c } = a_{1\times1} * c_{1\times1} - b_{1\times1} * 0 = det(A) * det(C)[/mm]
n = 2, m = 1 (Entwickeln nach letzter Zeile)
[mm]\vmat{ a & a &b \\ a & a & b \\ 0 & 0 & c } = C_{1\times1} * det(A)[/mm]
Diese Matrix bezeichne ich ab jetzt als [mm]A\*[/mm]
n = 2, m = 2 (Entwickeln nach letzer Zeile)
[mm]\vmat{ a & a & b & b \\ a & a & b & b \\ 0 & 0 & c & c \\ 0 & 0 & c & c} = (-1)c_{4\times3}*det(A\*) + 1*c_{4\times4}*(A\*)[/mm]
( Die Matrix n = 1, m = 2 habe ich weggelassen, aber geht analog )
Es ist ersichtlich, dass das Entwickeln der Matrix (n = 2, m = 2) automatisch auf zwei mal Entwickeln der Matrix (n = 2, m = 1) entspricht. Nur wir stell ich das Mathematisch korrekt und in einem Induktionsbeweis dar?
Bei Matrizen mit beliebigen Werten war mein Ansatz dann:
Entwickeln nach jeweils der letzen Zeile, dann kommt man auf:
[mm](-1)^{j + k}*c_{x \times y} * det( \tilde A_{j\times k})[/mm] wobei [mm]\tilde A_{j\times k[/mm] irgendwann dem Induktionsanfang entsprechen muss, rein logisch. Nur Mathematisch ist das nicht gezeigt, oder?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Greez Easy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mo 13.01.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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