Bodediagramm < Signaltheorie < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:53 Mi 30.12.2009 | | Autor: | tedd |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Es sei der Frequenzgang eines zeitkontinuierlichen Systems wie folgt gegeben:
$ H(f)=\bruch{1}{10}*\bruch{1+j*2*\pi*f}{\left(1+j*\bruch{\pi*f}{5}\right)*\left(1+j*\bruch{\pi*f}{50}\right)} $
Skizzieren Sie den Frequenzganz als Ampliuden- und Phasengang in ein Bodediagramm (asymptotische Näherung).
Hinweis:skizzieren Sie die Komponenten zunächst einzeln und überlagern Sie sie hierauf. |
Also ich habe eigentlich noch gar keine Ahnung wie das funktioniert, bin nur mal nach nem Beispiel aus meinem Skript gegangen und habe das ganze so probiert:
$ H(f)=\bruch{1}{10}*\bruch{1+j*2*\pi*f}{\left(1+j*\bruch{\pi*f}{5}\right)*\left(1+j*\bruch{\pi*f}{50}\right)} $
$ =\bruch{1}{10}*\bruch{1+j*2*\pi*f}{\left(1+j*\bruch{2*\pi*f}{10}\right)*\left(1+j*\bruch{2*\pi*f}{100}\right)} $
$ \Rightarrow H(j\omega)=\bruch{1}{10}*\bruch{1+j\omega}{\left(1+j*\bruch{\omega}{10}\right)*\left(1+j*\bruch{\omega}{100}\right)} $
$ =\bruch{1}{10}*(1+j\omega)*\bruch{1}{\left(1+j*\bruch{\omega}{10}\right)}*\bruch{1}{\left(1+j*\bruch{\omega}{100}\right)} $
Jetzt hat man :
$ {\color{Blue}H_1(j\omega)=\bruch{1}{10}*(1+j\omega) $ mit $ \omega_g=1 $
$ {\color{Green}H_2(j\omega)=\bruch{1}{\left(1+j*\bruch{\omega}{10}\right)} $ mit $ \omega_g=10 $
und
$ {\color{Red}H_3(j\omega)=\bruch{1}{\left(1+j*\bruch{\omega}{100}\right)} $ mit $ \omega_g=100 $
Das ganze würde ich dann so skizzieren:
Amplitudengang:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Phasengang:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Schwarz soll [mm] H(j\omega) [/mm] sein.
ist das richtig so?
Wenn ja, ist das immer so, dass beim Phasengang die jeweilige Grenzfrequenz bei 45° erreicht wird und sich bei 90° nichts mehr tut?
Ist beim Amplitudengang die Steigung immer 20dB pro Dekade?
Danke und Gruß,
tedd
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:36 Do 31.12.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo tedd,
das sieht doch gut aus. Die Näherungen sind okay, und zu Deinen Fragen kann ich Dir folgendes sagen:
Du hast die Gesamtübertragungsfunktion in Einzelfunktionen 1. Ordnung aufgeteilt. Die Grenzfrequenz, die dort definiert ist, ist die sogenannte 3dB-Grenzfrequenz. Die Übertragungsfunktion des Filters beträgt bei dieser Frequenz gerade [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] oder bildlich ausgedrückt, sind die Spannungsabfälle am reellen Widerstand sowie an der Impedanz gerade gleich groß. Das entspricht in einem Zeigerdiagramm gerade dem Arcustangens von 1 und so entstehen die 45 Grad. Insofern hast Du recht, bei der Grenzfrequenz beträgt der Phasenwinkel immer 45 Grad. Das Ganze läuft dann asymptotisch gegen die 90 Grad, erreicht diese aber erst bei unendlich hohen Frequenzen. Um jetzt hier weiter mit, logarithmisch betrachtet, geraden Übertragungsfunktionen arbeiten zu können, definiert man eine obere Grenzfrequenz, die so nahe an den 90 Grad liegt, dass der Fehler, den man durch die Linearisierung macht, nicht mehr ins Gerwicht fällt. Hierzu gibt es unterschiedliche Definitionen, diejenige, die Du benutzt, kenne ich auch und sie ist die Gebräuchlichste. Bei der 100-fachen Grenzfrequenz liegst Du so nahe an den 90 Grad dran, ab da kannst Du guten Gewissens mit einer Konstanten von 90 Grad arbeiten.
Zum Schluss möchte ich auf die 20 dB pro Dekade eingehen. Wenn Du Dir die Übertragungsfunktion eines Tiefpasses anschaust, hast Du folgende Übertragungsfunktion:
$$ A(j [mm] \omega) [/mm] = [mm] \bruch{1}{1 + j \omega RC} [/mm] $$ und für hohe Frequenzen darfst Du die 1 im Nenner der Übertragungsfunktion vernachlässigen. Damit ist die Verstärkung umgekehrt proportional zur Frequenz. Bei einer Verzehnfachung der Frequenz verringert sich die Verstärkung demzufolge um den Faktor 10, die Spannungsübertragungsfunktion mit der Du ja arbeitest, nimmt demzufolge mit 20 dB pro Dekade ab bzw. 6dB pro Oktave. So kommen die 20 dB Abfall zustande.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:06 Do 31.12.2009 | | Autor: | tedd |
Hallo Infinit!
Danke für deine ausführliche Anwort, jetzt ist mir das alles schon etwas klarer 
Danke und Gruß,
tedd
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