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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:11 Sa 30.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Berechnen Sie die Länge der Kurve
(Kardioide) $r = 1 + [mm] \cos(t)$
[/mm]
L = [mm] \integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{(-\sin(t)^2 + (1 + \cos(t))^2} \ dt}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{\sin(t)^2 + 1 + 2\cos(t) + \cos^2(t)} \ dt}$
[/mm]
$L = [mm] \integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{2 +\ cos^2(t)} \ dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{2*(1 + \cos(t))} \ dt} [/mm] = [mm] \wurzel{2} \integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{1 + \cos(t)} \ dt}$
[/mm]
Ich habe offensichtlich bereits wieder alles vergessen...wie nehme ich das Integral davon?
[mm] $\wurzel{2}*\bruch{2}{3} [/mm] * [mm] \Bigr|( ...........)^{\bruch{3}{2}}\Bigr|^{2\pi}_{0}$
[/mm]
Danke, Gruss Kuriger
[mm] \Bigr|^1_{\sin a}
[/mm]
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Hallo Kuriger,
du hast dir offenbar vorgenommen, meinen Ratschlag
(in Formeln weniger $ - Zeichen zu benützen) zu befolgen.
Leider klappt das noch nicht so ganz.
Tipp: Guck dir Formeln z.B. in meinen Beiträgen an,
indem du sie anklickst. Dann siehst du in einem
speziellen Fenster auch deren Quelltexte.
Schau dir auch da an, wie man innerhalb von Formeln
zum Beispiel Zwischenräume schafft.
LG und schönes Wochenende !
Al-Chw.
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Hallo Kuriger,
> Hallo
>
> Berechnen Sie die Länge der Kurve
> (Kardioide) [mm]r = 1 + \cos(t)[/mm]
>
> L = [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{(-\sin(t)^2 + (1 + \cos(t))^2} \ dt}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{\sin(t)^2 + 1 + 2\cos(t) + \cos^2(t)} \ dt}$[/mm]
>
> [mm]L = \integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{2 +\ cos^2(t)} \ dt} = \integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{2*(1 + \cos(t))} \ dt} = \wurzel{2} \integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{1 + \cos(t)} \ dt}[/mm]
>
> Ich habe offensichtlich bereits wieder alles
> vergessen...wie nehme ich das Integral davon?
Verwende jetzt die Halbwinkelformel:
[mm]\cos\left(t\right)=\cos^{2}\left(\bruch{t}{2}\right)-\sin^{2}\left(\bruch{t}{2}\right)=2*\cos^{2}\left(\bruch{t}{2}\right)-1[/mm]
> [mm]\wurzel{2}*\bruch{2}{3} * \Bigr|( ...........)^{\bruch{3}{2}}\Bigr|^{2\pi}_{0}[/mm]
>
> Danke, Gruss Kuriger
>
>
> [mm]\Bigr|^1_{\sin a}[/mm]
>
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:05 So 31.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Also ich hatte zuletzt:
[mm] \wurzel{2} \integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{1 +\cos(t)}} [/mm] dt
Es gilt:
cos(2t) = [mm] 2cos^2(t) [/mm] - 1
cos(2t) + 1 = [mm] 2cos^2(t)
[/mm]
d. h.
1 + [mm] \cos(t) [/mm] = [mm] 2cos^2(\bruch{t}{2}
[/mm]
Also:
[mm] \wurzel{2} \integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{2cos^2(\bruch{t}{2}}} [/mm] \ dt = 2 [mm] \integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{cos^2(\bruch{t}{2})}} [/mm] dt
Nun will ich die Wurzel ziehen..
L = 2 [mm] \integral_{0}^{2\pi}{{cos(\bruch{t}{2}}}) [/mm] dt
L = 2*2 * (sin{t}{2}) [mm] \Bigr|^{2\pi}_{\0} [/mm] = [mm] 4*(sin(\pi) [/mm] - sin(0)) = 0?
Da stimmt was nicht
Gruss Kuriger
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Hallo Kuriger!
Was ist denn genau der Unterschied zwischen [mm] \cos(t) [/mm] und [mm] \sqrt{\cos^2(t)} [/mm] ? Das "Wegkürzen" der Wurzel und des Quadrats ist keine Äquivalenzumformung. Für dein Integral bedeutet das nur eine kleine Änderung, du mußt nicht mal viel dafür rechnen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:07 So 31.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Wohl ein Betrag? Hilft mir aber auch gerade nicht weiter
Gruss Kuriger
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:57 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
L= 2 [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{cos^2(\bruch{t}{2})}}[/mm] dt
Warum darf eigentlich [mm] cos(\bruch{t}{2}) [/mm] keinen negativen Wert geben? Denn ich quadriert gibt es ja dann so oder so wieder einen positiven Wert, so dass die Wurzel problemlos gezogen werden kann.
verstehe ich echt nicht.
Also wenn ich mir das mal anschaue, so erkenne ich, dass 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le \pi [/mm] der Ausdruck positiv wird und [mm] \pi [/mm] < t < [mm] 2\pi [/mm] negativ...sorry momentan habe ich nicht den Durchblick, so dass ich auf eine Ausführliche Erklärung angewiesen bin
Danke, Gruss Kuriger
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:06 Mo 01.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Es ist
[mm] $\wurzel{a^2}=|a|$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:35 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo Fred
Also ich komme leider noch nicht wirklich voran
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{cos^2(\bruch{t}{2})}} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2\pi} [/mm] |cos [mm] (\bruch{t}{2}|
[/mm]
Aber wie fahre ich nun genau fort?
Gruss Kuriger
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Hallo Kuriger,
$\ [mm] |cos(\alpha)|\ [/mm] =\ \ [mm] \begin{cases}\ cos(\alpha) & \mbox{falls } 0\le\alpha\le\frac{\pi}{2} \\ -cos(\alpha) & \mbox{falls } \frac{\pi}{2} < \alpha\le\pi \end{cases}$
[/mm]
Teile also das Integral entsprechend auf.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:27 Di 02.11.2010 | | Autor: | Kuriger |
Danke an alle Helfer, jetzt komme ich auf die gewünschten 8.
Gruss Kuriger
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