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| Aufgabe | f : [- [mm] 1/(2)^0,5 [/mm] ; [mm] 1/(2)^0,5] \to [/mm] R, f(x) = [mm] (1-x^2)^0,5
[/mm]
Davon soll ich die Bogenlänge berechnen. |
Ich habe jetzt einfach die Funktion abgeleitet, davon dann den Betrag genommen also quadriert und wieder die Wurzelgezogen, wobei die Ableitung sich dadurch nicht ändert, da es ja ein Produkt ist. Und dann die Stammfunktion berechnet, welche ja wieder meine Ursprungsfunktion ist. Und dann habe ich zwischen den gegebenen Grenzen den Wert [mm] 2*(1/2)^0,5 [/mm] rausbekommen. Bin ich da richtig vorgegangen? Irgendwie erscheint mir das nicht korrekt.
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Hallo,
das kann man nicht lesen. Meinst du das so:
[mm]f: \left [ -\sqrt{ \frac{1}{2}};\sqrt{ \frac{1}{2}} \right ] \to\IR , f(x)=\sqrt{1-x^2}[/mm]
?
Leider funktioniert die hiesige Zitierfunktion gerade nicht. Deine Vorgehensweise hört sich abenteuerlich an, vorsichtig gesagt. Hast du denn schonmal die einschlägige Literatur konsultiert? Die Bogenlänge berechnet sich zu
[mm]l= \int_{a}^{b}{\wurzel{1+(f'(x))^2} dx}[/mm]
Und genau so musst du hier vorgehen.
Gruß, Diophant
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Jap ich habe das genauso gemeint, ich muss bei der Eingabe irgendetwas gewaltig falsch gemacht haben ^^
Ein Wunder, dass du das so herrauslesen konntest.
Ok ich habe das mal jetzt mit der Formel versucht, das Problem, dass ich jetzt habe, ist dass weder ich noch wolfram alpha zu der entstandenen Funktion
[mm] \integral_{a}^{b}{\sqrt{1+(x^3-x)^2} dx} [/mm] eine Stammfunktion findet
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:45 Di 18.06.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Jap ich habe das genauso gemeint, ich muss bei der Eingabe
> irgendetwas gewaltig falsch gemacht haben ^^
> Ein Wunder, dass du das so herrauslesen konntest.
> Ok ich habe das mal jetzt mit der Formel versucht, das
> Problem, dass ich jetzt habe, ist dass weder ich noch
> wolfram alpha zu der entstandenen Funktion
> [mm]\integral_{a}^{b}{\sqrt{1+(x^3-x)^2} dx}[/mm] eine Stammfunktion
> findet
Wie kommst du denn auf diese Funktion?
Du hast.
[mm] f(x)=\sqrt{1-x^{2}}
[/mm]
Also, mit Kettenregel:
[mm] f'(x)=\frac{1}{2\cdot\sqrt{1-x^{2}}}\cdot(-2x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}
[/mm]
Damit bekommst du über die "Formel" für die Bogenlänge:
[mm] \int\limits_{a}^{b}\sqrt{1-\left(f'(x))\right)^{2}}dx
[/mm]
das zu bestimmende Integral:
[mm] \int\limits_{a}^{b}\sqrt{1-\left(-\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)^{2}}dx
[/mm]
[mm] =\int\limits_{a}^{b}\sqrt{1-\frac{x^{2}}{1-x^{2}}}dx
[/mm]
Marius
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Naja zunächst habe ich das ganze umgeschrieben zu [mm] (1-x^2)^0,5 [/mm] da ich die Wurzelfunktion nicht mag.
Dann habe ich das ganze mit Kettenregel abgeleitet.
äußere Funktion mal innere Funktion mal Ableitung der inneren Funktion, also
[mm] 1/2*(1-x^2)*(-2x) [/mm] das habe ich dann aufgelöst und so [mm] -x+x^3 [/mm] erhalten
dass habe ich dann in die Formel eingesetzt.
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Hallo,
> Naja zunächst habe ich das ganze umgeschrieben zu
> [mm](1-x^2)^0,5[/mm] da ich die Wurzelfunktion nicht mag.
???
Erstens mal ist das egal, wie du es schreibst, es ist und bleibt eine Quadratwurzel. Zweitens: du musst in LaTeX für das Dezimalkomma den Punkt verwenden, und außerdem Exponenten, die aus mehr als einem Zeichen bestehen, in geschweifte Klammern setzen.
> Dann habe ich das ganze mit Kettenregel abgeleitet.
> äußere Funktion mal innere Funktion mal Ableitung der
> inneren Funktion, also
> [mm]1/2*(1-x^2)*(-2x)[/mm] das habe ich dann aufgelöst und so
> [mm]-x+x^3[/mm] erhalten
Dabei ist dir die entscheidende Kleinigkeit durch die Lapüpen gegangen, dass dieine erste Klammer noch den Exponenten -1/2 haben muss (der Exponent wird beim Ableiten der Potenzfunktion um 1 erniedrigt). Würdest du das berücksichtigen, hättest du die gleiche Ableitung wie marius, nur komplizierter geschrieben...
> dass habe ich dann in die Formel eingesetzt.
Es macht keinen Sinn, etwas in eine Formel einzusetzen, was bereits als falsch erkannt wurde.
Beherzige den Rat von M.Rex und rechne damit weiter.
Gruß, Diophant
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OH, klar da habe ich was vergessen gehabt :-/
Und wie gehe ich am besten beim Bestimmen von solchen Stammfunktionen vor? Bei kleineren Sachen ist das ja kein Problem aber bei solch großen ist das bei mir maximal noch gezielte Raterei.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:15 Di 18.06.2013 | | Autor: | M.Rex |
> OH, klar da habe ich was vergessen gehabt :-/
> Und wie gehe ich am besten beim Bestimmen von solchen
> Stammfunktionen vor? Bei kleineren Sachen ist das ja kein
> Problem aber bei solch großen ist das bei mir maximal noch
> gezielte Raterei.
Vereinfache erst noch:
$ [mm] \int\limits_{a}^{b}\sqrt{1-\frac{x^{2}}{1-x^{2}}}dx [/mm] $
$ [mm] =\int\limits_{a}^{b}\sqrt{1-\left(-\frac{x^{2}}{-1+x^{2}}\right)}dx [/mm] $
$ [mm] =\int\limits_{a}^{b}\sqrt{1+\frac{x^{2}}{x^{2}-1}}dx [/mm] $
Nun ergänze eine "nahrhafte 1"
$ [mm] =\int\limits_{a}^{b}\sqrt{1+\frac{x^{2}-1+1}{x^{2}-1}}dx [/mm] $
$ [mm] =\int\limits_{a}^{b}\sqrt{1+\frac{x^{2}-1}{x^{2}-1}+\frac{1}{x^{2}-1}}dx [/mm] $
$ [mm] =\int\limits_{a}^{b}\sqrt{1+1+\frac{1}{x^{2}-1}}dx [/mm] $
$ [mm] =\int\limits_{a}^{b}\sqrt{2+\frac{1}{x^{2}-1}}dx [/mm] $
Nun versuche mal, mit bekannten Mitteln die Stammfunktion zu finden. Hier bietet sich eine Substitution an.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:45 Mi 19.06.2013 | | Autor: | Helbig |
Hallo, Diophant
LaTeX läßt sehr wohl auch das Dezimalkomma zu: [mm] $x^{0,5}\,.$ [/mm] Aber [mm] $\sqrt [/mm] x$ oder [mm] $x^{1/2}$ [/mm] ist schöner!
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:21 Di 18.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
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> > Jap ich habe das genauso gemeint, ich muss bei der Eingabe
> > irgendetwas gewaltig falsch gemacht haben ^^
> > Ein Wunder, dass du das so herrauslesen konntest.
> > Ok ich habe das mal jetzt mit der Formel versucht, das
> > Problem, dass ich jetzt habe, ist dass weder ich noch
> > wolfram alpha zu der entstandenen Funktion
> > [mm]\integral_{a}^{b}{\sqrt{1+(x^3-x)^2} dx}[/mm] eine
> Stammfunktion
> > findet
>
> Wie kommst du denn auf diese Funktion?
>
> Du hast.
> [mm]f(x)=\sqrt{1-x^{2}}[/mm]
>
> Also, mit Kettenregel:
>
> [mm]f'(x)=\frac{1}{2\cdot\sqrt{1-x^{2}}}\cdot(-2x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}[/mm]
>
> Damit bekommst du über die "Formel" für die Bogenlänge:
>
> [mm]\int\limits_{a}^{b}\sqrt{1-\left(f'(x))\right)^{2}}dx[/mm]
Hallo Marius,
das stimmt aber nicht.
Richtig:
[mm]\int\limits_{a}^{b}\sqrt{1+\left(f'(x))\right)^{2}}dx[/mm]
Gruß FRED
>
> das zu bestimmende Integral:
>
> [mm]\int\limits_{a}^{b}\sqrt{1-\left(-\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)^{2}}dx[/mm]
> [mm]=\int\limits_{a}^{b}\sqrt{1-\frac{x^{2}}{1-x^{2}}}dx[/mm]
>
> Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:26 Di 18.06.2013 | | Autor: | fred97 |
Bei Marius hat sich ein Fehler eingeschlichen. Das zu berechnende Integral lautet:
[mm] \integral_{-1/\wurzel{2}}^{1/\wurzel{2}}{\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}
dx}
[/mm]
Das ist = [mm] 2*\integral_{0}^{1/\wurzel{2}}{\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}
dx}
[/mm]
Die Substitution t=sin(x) hilft.
FRED
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Ahhh jetzt habe ichs, danke euch 
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