Bogenlängen ebener Kurven < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:44 So 06.02.2005 | | Autor: | Sue20 |
Gegeben ist die folgende Kurve in Parameterform
x(t) = cos t/t, y(t) = sin t, t [10, 15] .
Stellen Sie das Integral zur Berechnung der Länge der Kurve auf!
Meine Lösung:
x'(t) = (-sin t*t - cos t)/t²
y'(t) = cos t
L = [mm] \integral_{t_{1}}^{t_{2}} {\wurzel{x'²(t) + y'²(t)} dt}
[/mm]
L = [mm] \integral_{10}^{15} {\wurzel{(-sin²t*t² - cos²t)/t^{4}} dt}
[/mm]
= 1/t [mm] \integral_{10}^{15} {\wurzel{-sin²t*t² - cos²t} dt}
[/mm]
Ist dies so richtig?
Nach Berechnung der Kurvenlänge ist ja nicht gefragt, sondern nur nach dem Aufstellen des Integrals, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:30 So 06.02.2005 | | Autor: | andreas |
hi
die ableitungen sind noch richtig, aber die terme unter derwurzel nicht mehr. hast du überall korrekt quadriert? außerdem erhälst du [m] \frac{1}{t^2} [/m], wenn du [m] \frac{1}{t^4} [/m] aus der wurzel ziehst und das darfst du nicht aus dem integral ziehen, da es ja noch von der variable - nämlich $t$ - abhängt nach der integriert wird!
ich erhalte am ende, sofern ich mich nicht verrechnet habe:
[m] \int_{10}^{15} \frac{1}{t^2} \sqrt{2t\sin t \cos t + \cos^2 t (1 + t^2 + t^4) + t^2} \, \textrm{d}t [/m]
probiere es doch nochmal 
grüße
andreas
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:24 So 06.02.2005 | | Autor: | Sue20 |
Hallo!
Ich ziehe ja auch noch t² (im Zähler) aus der Wurzel. Damit ergibt sich doch t/t² und damit 1/t, oder?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 13:29 So 06.02.2005 | | Autor: | Sue20 |
Also ich habe mich noch mal über die Aufgabe gemacht, komme aber überhaupt nicht auf dein Ergebnis.
Nach dem Quadrieren und [mm] 1/t^{4} [/mm] aus der Wurzel ziehen steht doch das im Integral unter der Wurzel:
[mm] \integral_{10}^{15} {1/t^{2} \wurzel{-sin²t*t² + cos²t + cos²t} dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{10}^{15} {1/t^{2} \wurzel{2cos²t - sin²t*t²} dx}
[/mm]
Wie kommt der lange Term bei dir zustande? Oder kann man meine Lösung noch vereinfachen?
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Hallo,
ich komme auf folgenden Ausdruck unter der Wurzel:
[mm]2t\;\sin \left( t \right)\;\cos (t)\; + \;\cos ^{2} \left( t \right)\;\left( {1\; - \;t^{2} \; + \;t^{4} } \right)\; + t^{2}[/mm]
Der Ausdruck kommt wie folgt zu stande:
[mm]\begin{gathered}
\left( { - \frac{1}
{{t^{2} }}\;\left( {t\;\sin (t)\; + \;\cos (t)\;} \right)} \right)^{2} \; + \;\cos ^{2} (t) \hfill \\
= \;\frac{1}
{{t^{4} }}\;\left( {t^{2} \;\sin ^{2} (t)\; + \;2t\;\sin (t)\;\cos (t)\; + \;\cos ^{2} (t)\;} \right)\; + \;\cos ^{2} (t) \hfill \\
= \;\frac{1}
{{t^{4} }}\;\left( {t^{2} \;\sin ^{2} (t)\; + \;2t\;\sin (t)\;\cos (t)\; + \;\cos ^{2} (t)\; + \;t^{4} \;\cos ^{2} (t)} \right) \hfill \\
= \;\frac{1}
{{t^{4} }}\;\left( {t^{2} \;\left( {1\; - \;\cos ^{2} (t)} \right)\; + \;2t\;\sin (t)\;\cos (t)\; + \;\cos ^{2} (t)\; + \;t^{4} \;\cos ^{2} (t)} \right) \hfill \\
= \;\frac{1}
{{t^{4} }}\;\left( {2t\;\sin (t)\;\cos (t)\; + \;\cos ^{2} (t)\;\left( {1\; - \;t^{2} \; + \;t^{4} } \right)\; + \;t^{2} } \right) \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Gruß
MathePower
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