Bolzano-Weierstraß in C < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Mi 24.11.2004 | | Autor: | fridolin |
Wie kann man den Satz von Bolzano-Weierstraß für komplexe Folgen zeigen? D.h. Jede beschränkte Folge komplexer Zahlen enthält eine konvergente Teilfolge.
Es sollte sich doch irgendwie auf den Satz von Bolzano-Weierstraß für reelle Folgen zurückführen lassen?
(Bei dem ich allerdings auch noch Verständnis-Nachholebedarf habe ... )
Danke für eure Ideen.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
In unserer Ana1 Vorlesung wurde das Kapitel komplexe Folgen sehr schnell behandelt, da man die ganze Arbeit schon bei reelen Folgen geleistet hat.
Das heisst also, Du kannst den Satz von Bolzano Weierstrass für komplexe Folgen analog zum Beweis für die reelle Version durchführen.
Es ist nur zu beachten, dass ein komplexes Folgenglied der Gestalt
[mm] a_n [/mm] = x + i*y ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Mi 24.11.2004 | | Autor: | fridolin |
Ganz so einfach sollte es aber nicht sein, laut Prof gibt's irgendwo noch eine Falle in die man leicht hineintappt ...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:23 Do 25.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ja, da gibt es eine Falle. Du nimmst dir eine Folge komplexer Zahlen. Jedes Folgenglied zerlegst du in ihren Realteil und in ihren Imaginärteil, also erhältst du zwei relle Folgen (sozusagen eine Realteil-Folge und eine Imaginärteil-Folge). Nach dem rellen Satz von Bolzano-Weierstraß gibt es nun von der Realteil-Folge eine Teilfolge (also sozusagen eine Realteil-Teilfolge  ), die konvergiert (die Realteil-Folge hat ja nur relle Werte, deswegen darf man den (reellen) Satz von Bolzano-Weiertraß darauf anwenden). Ebenso gibt es nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß von der Imaginärteil-Folge eine Teilfolge, die konvergiert (also eine konvergente Imaginärteil-Teilfolge Beachte: Der Imaginärteil einer komplexen Zahl ist ja eine relle Zahl!).
Wählst du nun eine Teilfolge der komplexen Folge so, dass die Realteil-Teilfolge konvergiert, so muss bei dieser Teilfolge zwar der Realteil konvergieren, der Imaginärteil muss es für diese Teilfolge aber zwangsläufig nicht tun.
Wählst du nun eine Teilfolge so, dass die Imaginärteil-Teilfolge konvergiert, so heißt das dann noch lange nicht, dass der zugehörige Realteil davon konvergieren muss.
Das ist die Falle, in die man tappen kann. 
Was macht man also, um eine Teilfolge zu finden, so dass sowohl die Realteil-Teilfolge als auch die Imaginärteil-Teilfolge konvergiert? Na, man geht so vor:
Man wendet zunächst den Satz von Bolzano-Weierstraß auf die Realteil-Folge der komplexen Folge an. Damit findet man eine Teilfolge der komplexen Folge, so dass der Realteil dieser komplexen Teilfolge konvergiert. Von dieser (komplexen) Teilfolge kann man nun eine weitere Teilfolge finden (wieder wegen dem reellen Bolzano-Weierstraß), so dass der Imaginärteil der komplexen (weiteren) Teilfolge konvergiert. Die erste Teilfolge war aber so, dass der Realteil der ersten komplexen Teilfolge konvergent war, und wenn man daraus jetzt wieder eine Teilfolge wählt, bleibt der Realteil ja konvergent; aber diese Teilfolge der Teilfolge konnte man wegen Bolzano-Weierstraß ja so wählen, dass der Imaginärteil dann auch konvergent ist. Damit hat man dann eine Teilfolge der komplexen Folge gefunden, so dass beide Komponenten konvergent sind.
So, ich muss zugeben, dass es mir hier fast lieber wäre, ich hätte das ganze formal aufgeschrieben, denn ich weiß nicht, ob ich mich irgendwo missverständlich ausdrücke.
Was ich sagen will:
Wegen Bolzano-Weierstraß gibt es eine Teilfolge der komplexen Folge, so dass der zugehörige Realteil konvergiert. Dann mußt du Bolzano-Weierstraß nochmal auf diese Teilfolge anwenden, und erhältst dann eine Teilfolge einer Teilfolge deiner Ausgangsfolge, und bei dieser Teilfolge der Teilfolge bekommst du dann wegen Bolzano-Weierstraß auch die Konvergenz des Imaginärteils, und damit die Konvergenz in beiden Komponenten.
PS: Bei Unklarheiten: Frage nach. Fortsetzung folgt dann (in einzelnen Teilen).
Ich muss zugeben, wenn man das zum ersten Mal liest, hört sich das bestimmt bescheuert an, oder?
Viele Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Do 25.11.2004 | | Autor: | fridolin |
Erstmal herzlichen Dank. Hab's mir jetzt 2x durchgelesen und langsam ne Ahnung wie der Ansatz ist. D.h. die Falle hab ich kapiert, jetzt muß ich noch am Verständnis der Lösung arbeiten. Vielleicht versteh ich's ja auch bald .
Dann muß ich nur noch ein Weg finden das Ganze in math. Formulierungen auszudrücken...
@ Marcel: Wenn Du Zeit hast, könntest Du das ja noch mal aufschreiben? Das Würde das Verständnis wohl doch noch erheblich erleichtern.
Danke!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:12 Do 25.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fridolin,
also okay: Sei [m](c_n)_{n \in \IN}[/m] eine Folge in [mm] $\IC$. [/mm] Dann existieren für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] relle [mm] $a_n,b_n \in \IR$ [/mm] mit:
[mm] $c_n=a_n+i*b_n$.
[/mm]
Die Folgen [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] und [mm] $(b_n)_{n \in \IN}$ [/mm] sind reelle Folgen. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß (im Reellen) gibt es also eine Teilfolge [mm] $(a_{n_k})_{k \in \IN}$ [/mm] von [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] und ein $a [mm] \in \IR$, [/mm] so dass [m]\lim_{k \to \infty}a_{n_k}=a[/m]. Also ist [m](c_{n_k})_{k \in \IN}[/m] eine Teilfolge von [mm] $(c_n)_{n \in \IN}$ [/mm] in [mm] $\IC$, [/mm] deren Realteil konvergiert.
Wir betrachten nun die Folge des Imaginärteils dieser Teilfolge [m](c_{n_k})_{k \in \IN}[/m], also die Folge [m](b_{n_k})_{k \in \IN}[/m]. Wieder nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß (im Reellen) gibt es dazu eine Teilfolge [mm] $(b_{n_{k_l}})_{l \in \IN}$ [/mm] und ein $b [mm] \in \IR$, [/mm] so dass gilt:
[mm] $b=\lim_{l \to \infty}b_{n_{k_l}}$.
[/mm]
Daraus folgt, dass für die Teilfolge [mm] $(c_{n_{k_l}})_{l \in \IN}$ [/mm] von [m](c_n)_{n \in \IN}[/m] gilt:
[m]c_{n_{k_l}}=a_{n_{k_l}}+i*b_{n_{k_l}} \to a+ib[/m] ($l [mm] \to \infty$)
[/mm]
Waum? Nun: [mm] $(b_{n_{k_l}})_{l \in \IN}$ [/mm] war am Ende ja gerade so, dass [m]b=\lim_{l \to \infty}b_{n_{k_l}}[/m] gegolten hat.
[mm] $(a_{n_k})_{k \in \IN}$ [/mm] war konvergent gegen $a$. Damit ist aber auch jede Teilfolge von [mm] $(a_{n_k})_{k \in \IN}$ [/mm] konvergent gegen $a$, also insbesondere konvergiert [mm] $(a_{n_{k_l}})_{l \in \IN}$ [/mm] auch gegen $a$.
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:55 Do 25.11.2004 | | Autor: | fridolin |
Vielen Dank!!!
Jetzt hab ich sogar noch ein bißchen Zeit das Ganze zu durchdenken ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:34 Do 25.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fridolin,
> Vielen Dank!!!
> Jetzt hab ich sogar noch ein bißchen Zeit das Ganze zu
> durchdenken ...
Gern geschehen. Ich gehe übrigens immer davon aus, das meine Antworten durchdacht werden. Sonst könnte ich jeden Blödsinn antworten, und keinem würde es auffallen.
Wer sich also keine Gedanken zu meinen Antworten macht, ist selber Schuld.
Aber dir geht es ja ums Verständnis, und das ist auch richtig. Man muss nicht jede Aufgabe alleine lösen können, aber man sollte schon versuchen, die Aufgaben, die man nicht oder falsch gelöst hat, später nachzuvollziehen.
Du siehst aber auch, dass das ganze formal eigentlich verständlicher ist (bzw. weniger missverständlich), als mein Versuch, das ganze in Worte zu fassen. Oder geht es nur mir so?
Viele Grüße,
Marcel
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