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| Aufgabe | Zeigen Sie mit Hilfe der Regeln von De Morgan, dass folgende Äquivalenz gilt:
(a [mm] \cup [/mm] b) [mm] \cap [/mm] (b [mm] \cup [/mm] c) [mm] \cap [/mm] (c [mm] \cup [/mm] a) = (a [mm] \cap [/mm] b) [mm] \cup [/mm] (b [mm] \cap [/mm] c) [mm] \cup [/mm] (c [mm] \cap [/mm] a) |
Hallo Leute,
hab versucht die Aufgabe mit doppelter Negation zu Lösen, komme dann aber nur wieder auf den Uhrsprungsausdruck zurück
und mit dem Distributivgesetz komm ich auf a [mm] \cup [/mm] b [mm] \cup [/mm] c.
Wie setze ich an? Gibt es hier "Tricks"?
Gruss
mathlooser
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:56 Sa 20.02.2010 | | Autor: | Jorms |
Hallo mathlooser,
ich würde mal den Ansatz versuchen: x element von [ (a $ [mm] \cup [/mm] $ b) $ [mm] \cap [/mm] $ (b $ [mm] \cup [/mm] $ c) $ [mm] \cap [/mm] $ (c $ [mm] \cup [/mm] $ a) ].
Dann Umformen zu x element von (a $ [mm] \cup [/mm] $ b) oder (b $ [mm] \cup [/mm] $ c) oder (c $ [mm] \cup [/mm] $ a). Dann x element a oder x elemnt b und x element b oder x element c usw. Nun die Formel von de Morgan anwenden sodass aus und oder wird aus a nicht a usw. Nun umordnen und noch mal de Morgan anwenden sodass aus nicht a wieder a wird. Dann müsstest du es eigentlich haben.
Viele Grüße Jorms
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:40 Sa 20.02.2010 | | Autor: | mathlooser |
Hallo Jorms,
danke für deine Antwort.
Ich habe versucht den gesamten Ausdruck doppelt zu negieren.
dann komme ich auf x [mm] \in \overline{\overline{(a \cup b)} \cap \overline{(b \cup c)} \cap \overline{(c \cup a)}}.
[/mm]
danach habe ich die einzelnen Negationen auf die einzelnen Ausdrücke angewandt: x [mm] \in \overline{(\overline{a} \cap \overline{b})} [/mm] usw.
Jetzt habe ich im Grunde den gewünschten Äquivalenzausdruck nur mit den Negationen. Wie bekomme ich diese weg, ohne den Ausdruck zu verändern?
Gruss
math
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:05 Sa 20.02.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo,
noch ein Zusatz:
> und mit dem Distributivgesetz komm ich auf a [mm]\cup[/mm] b [mm]\cup[/mm]
> c.
DAS kommt da ganz bestimmt nicht raus. Ein Element liegt naemlich genau in der urspruenglichen Menge, wenn es in mindestens zwei der Mengen $a, b, c$ liegt. Und nicht nur in mindestens einer.
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:49 Sa 20.02.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo,
> Zeigen Sie mit Hilfe der Regeln von De Morgan, dass
> folgende Äquivalenz gilt:
>
> (a [mm]\cup[/mm] b) [mm]\cap[/mm] (b [mm]\cup[/mm] c) [mm]\cap[/mm] (c [mm]\cup[/mm] a) = (a [mm]\cap[/mm] b)
> [mm]\cup[/mm] (b [mm]\cap[/mm] c) [mm]\cup[/mm] (c [mm]\cap[/mm] a)
> Hallo Leute,
>
> hab versucht die Aufgabe mit doppelter Negation zu Lösen,
> komme dann aber nur wieder auf den Uhrsprungsausdruck
> zurück
>
> und mit dem Distributivgesetz komm ich auf a [mm]\cup[/mm] b [mm]\cup[/mm]
> c.
also wenn ich mit dem Distributivgesetz auf der linken Seite anfange, komme ich auf $(a [mm] \cap [/mm] b [mm] \cap [/mm] c) [mm] \cup [/mm] (a [mm] \cap [/mm] c) [mm] \cup [/mm] (b [mm] \cap [/mm] c) [mm] \cup [/mm] (a [mm] \cap [/mm] b)$. Jetzt musst du dir noch ueberlegen, dass $a [mm] \cap [/mm] b [mm] \cap [/mm] c$ in allen anderen drei Schnitten enthalten ist, und du es einfach weglassen kannst, und schon hast du die andere Seite.
LG Felix
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Hallo,
danke nochmal für die Antwort.
Allerdings komme ich leider nicht drauf, egal wie ich es drehe.
Villeicht kannst du mir nochmal einen Ansatz liefern?
Gruss
math
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> Hallo,
>
> danke nochmal für die Antwort.
>
> Allerdings komme ich leider nicht drauf, egal wie ich es
> drehe.
>
> Villeicht kannst du mir nochmal einen Ansatz liefern?
>
> Gruss
>
> math
felixf hat dir doch schon quasi den tipp gegeben...
ich verwende + für oder, und * für und:
$ (a+b)*(b+c)*(c+a) $
$ =(a*b+a*c+b*b+b*c)*(c+a) $
$ =a*b*c+a*c*c+b*b*c+b*c*c+a*a*b+a*a*c+a*b*b+a*b*c $
doppelte vorkommnisse fallen weg (A+A=A) und doppelte "faktoren" auch (A*A=A)
$ =a*b*c+a*c+b*c+a*b $
so weit wurde es dir ja schon vorgetragen
nun noch "ausklammern" von b*c:
$ =b*c*(a+1)+a*c+a*b $
$ =b*c+a*c+a*b $
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:19 So 21.02.2010 | | Autor: | mathlooser |
Hallo,
danke habs jetzt, ist im Grunde nur ein stumpfes ausmultiplizieren.
Hab immer wieder versucht DeMorgan anzuwenden und bin deshalb gescheitert.
Gruss
math
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