Borel-Cantelli Beweis < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:04 Sa 15.10.2011 | | Autor: | kalor |
Morgen!
Ich brüte über dem Beweis von Borel-Cantelli und hätte dazu eine Frage:
Es geht um das erste Lemma:
Wenn man eine Folge $\ [mm] (A_n)_{n\in \IN} [/mm] $ so dass
$\ [mm] \summe_{n\in \IN} P(A_n) [/mm] < [mm] \infty \Rightarrow P[\limsup_{n}A_n]=0$.
[/mm]
wobei $\ P $ ein Wahrscheinlichkeitsmass ist. Ich kannte bisher diesen Beweis:
$\ [mm] A:=\limsup A_n [/mm] $
$\ P(A) = [mm] \lim P(\cup_{l\ge n}A_l) \le \lim \summe_{l\ge n} P(A_l) [/mm] = 0 $
Wobei ich die Stetigkeits des Masses ausgenützt habe, sowie Monotonie.
Nun habe ich aber einen anderen Beweis gesehen, den ich nicht ganz verstehe:
Mit monotoner Konvergenz gilt foglendes:
$\ [mm] E[\summe_{i=1}^{\infty}1_{A_i}] [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{\infty} P(A_i) [/mm] < [mm] \infty [/mm] $
Soweit ist mir das klar, da ich monotone Konvergenz anwenden darf (betrachten der Folge der Partialsummen).
Die Summanden sind natürlich die charakteristischen Funktionen. Daraus folgert man nun:
$\ [mm] \summe_{i=1}^{\infty} 1_{A_i} [/mm] < [mm] \infty \mbox{ P-f.s } \Rightarrow P(\limsup A_i [/mm] ) = 0 $
Diese Folgerungen verstehe ich überhaupt nicht. Genauer:
1. Wieso gilt aus obigem, dass $\ [mm] \summe_{i=1}^{\infty} 1_{A_i} [/mm] < [mm] \infty \mbox{ P-f.s } [/mm] $? P-f.s. heisst doch:
$\ [mm] P(\lim_{n\to \infty}\summe_{i=1}^n 1_{A_i} [/mm] < [mm] \infty [/mm] ) = 1$
2. Der Grund, dass ich daraus schliessen kann, dass $\ [mm] P(\limsup A_i [/mm] ) = 0$ ist doch folgender:
Es gilt: $\ [mm] 1_{\limsup A_i} [/mm] = [mm] \limsup 1_{A_i}$, [/mm] d.h. wenn $\ [mm] \summe 1_{A_i} [/mm] < [mm] \infty [/mm] $ P-f.s., dann muss $\ [mm] (1_{A_i}) [/mm] $ eine Nullfolge (P.f.s) sein, also folgt $\ [mm] P(\limsup A_i) [/mm] = 0$. Ist das richtig gefolgert?
Vielleicht liegt es nur eine andere Notation, aber diesen Beweis verstehe ich nicht. Wäre nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
mfg
KaloR
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:14 Sa 15.10.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> $ \ [mm] \summe_{i=1}^{\infty} 1_{A_i} [/mm] < [mm] \infty \mbox{ P-f.s } \Rightarrow P(\limsup A_i [/mm] ) = 0 $
[mm] $\summe_{i=1}^{\infty} 1_{A_i}$ [/mm] ist eine ZV. wir haben gerade festgestellt, daß sie einen endlichen Erwartungswert hat, also muß sie fast sicher endlich sein.
[mm] $\limsup_i A_i$ [/mm] ist die Menge aller [mm] $\omega$, [/mm] die in unendlich vielen [mm] $A_i$ [/mm] sind, d.h. die Menge aller [mm] $\omega$, [/mm] für die gilt [mm] $\sum_i 1_{A_i}(\omega)=\infty$. [/mm] Nachdem [mm] $\sum_i 1_{A_i}$ [/mm] P-f.s. endlich ist, ist die Wkeit dieser Menge 0.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Sa 15.10.2011 | | Autor: | kalor |
Hallo Stefan
Danke für die schnelle Antwort! Nur eine kleine Frage, ob meine Argumentation richtig ist:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} 1_{A_i}[/mm] ist eine ZV.
>
Das folgt, daraus, dass man das als limes der Partialsummen definieren kann und dann, dass der limes von messbaren Funktionen wieder messbar ist?
Nun stellt sich mir eine Anschlussfragen. Wenn ich dann eine Folge $\ [mm] X_n [/mm] , [mm] n\in \IN [/mm] $ habe die unabhängig und Normalverteilt sind mit $\ [mm] \mu [/mm] = 0) $ und $\ [mm] \sigma^2 [/mm] $ wobei $\ [mm] \sigma [/mm] > 0 $. ist. Dann soll mittels dem zweiten Lemma von Borel Cantelli gelten:
$\ [mm] \limsup X_n [/mm] = [mm] \infty [/mm] $ P.f.s
Damit ist doch gemeint, dass $\ [mm] P(\{\omega | \limsup X_n(w) = \infty \}) [/mm] = 1 $.
Wieso folgt das aus dem zweiten Lemma von Borel Cantelli? Ich hätte jetzt eine Menge definiert:
$\ [mm] A_n:=\{\omega | X_n(w) > k\} [/mm] $ für eine beliebige natürliche Zahl k.
Wieso soll die Summe
$\ [mm] \summe P(A_n) [/mm] $ divergieren? Erst dann kann ich ja sagen, dass
$\ [mm] P(\{\omega | \limsup X_n(w) = \infty \})=P(\limsup (A_n) [/mm] )=1 $.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 Sa 15.10.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Wieso soll die Summe $ \ [mm] \summe P(A_n) [/mm] $ divergieren?
weil die [mm] $X_n$ [/mm] iid sind. d.h. [mm] $P(A_n)=c>0$ [/mm] und damit ist die Summe unendlich für alle k.
ciao
Stefan
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