Borel-sigma-Algebra < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:22 Fr 29.04.2011 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Sei (X,d) ein metrischer Raum mit Borel-sigma-Algebra B(X). Sei [mm] Y\subset [/mm] X und [mm] d_{Y} [/mm] die auf Y induzierte Metrik. Zeigen Sie,dass die Borel-sigma-Algebra auf (Y, [mm] d_{Y}) [/mm] gleich der Spur-sigma-Algebra von B(X) auf Y ist, formal:
[mm] B(Y)=\{A\cap Y:A \in B(X)\}=B(X)|_{Y}. [/mm] |
Hallo,
hier sind also zwei Inklusionen zu zeigen.
Die Inklusion von links nach rechts habe ich schon gemacht.
Bei der Inklusion von rechts nach links ist mir nicht klar, wie man es zeigt.
Bis jetzt ging ich so vor:
Sei [mm] Z\in B(X)|_{Y} \gdw \exists A_{1}\in [/mm] B(X) mit [mm] A_{1}\cap [/mm] Y =Z
Nun ist zu zeigen, dass [mm] A_{1}\cap [/mm] Y [mm] \in [/mm] B(Y).
Wie kann man hier weiter vorgehen?
Bzw. was soll man beachten?
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:36 Sa 30.04.2011 | | Autor: | fred97 |
Tipp: B(Y) wird erzeugt von den in Y offenen Mengen.
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:53 Sa 30.04.2011 | | Autor: | Igor1 |
Der Tipp bringt mich nicht weiter, da die Definition der Borel-sigma-Algebra in jedem Fall benutzt werden soll.
Es muss einen Grund geben, dass wenn man [mm] A_{1} \in [/mm] B(X) mit Y schneidet, dass die damit entstandene Menge Z in B(Y) ist.
Soll man alle brauchbaren Möglichkeiten durchgehen , welche Eigenschaften [mm] A_{1} [/mm] , Y haben können ?
Z.B wenn [mm] A_{1} [/mm] offen und Y offen sind, dann ist Z auch offen und [mm] Z\subset [/mm] Y, dann ist Z [mm] \in [/mm] B(Y). [mm] A_{1} [/mm] kann also offen oder abgeschlossen oder nichtoffen und nichtabgeschlossen sein (im letzten Falle durch Schnitt von zwei geeigneter Mengen aus B(X)) . Analog gilt auch für Y.
Oder kann man von diesen allen Möglichkeiten abstrahieren , weil es vielleicht einen kürzeren Weg gibt?
Gruss
Igor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mo 02.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) überfällig | | Datum: | 22:07 Mo 02.05.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ich habe eine Idee, weiß aber nicht, ob diese funktionieren wird:
Da Y mit der Metrik ein metrischer Raum ist, ist Y offen.
[mm] A_{1}\cap [/mm] Y kann ich dann auch zu einem metrischen Raum machen (bezeichnen wir
[mm] A_{1}\cap [/mm] Y mit Z ) . Dann ist Z als metrischer Raum auch offen und Z [mm] \subset [/mm] Y . Ferner gilt Z [mm] \in B(Z)\subset [/mm] B(Y) . Daraus folgt die Behauptung.
Ist das richtig?
Gruss
Igor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 Mi 04.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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