Borel-sigma-Algebra < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:13 Fr 30.03.2012 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Hallo, ich habe eine kurze Frage: Was ist die Borel-sigma-Algebra auf [0,1]?
Ist das die von den offenen Intervallen bezüglich [0,1] erzeugte sigma-Algebra? Also die kleinste sigma-Algebra, die alle bezüglich [0,1] offenen Intervalle enthält?
(Die bezüglich [0,1] offenen Intervalle sínd doch die Schnitte der offenen Intervalle der reellen Zahlen mit [0,1]?) |
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:12 Fr 30.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo, ich habe eine kurze Frage: Was ist die
> Borel-sigma-Algebra auf [0,1]?
kennst Du den Begriff der Spur-Sigma-Algebra?
> Ist das die von den offenen Intervallen bezüglich [0,1]
> erzeugte sigma-Algebra? Also die kleinste sigma-Algebra,
> die alle bezüglich [0,1] offenen Intervalle enthält?
Wenn Du obigen Begriff kennst, und weißt, wie Du prüfen kannst, ob alle bzgl. $[0,1]$ offenen Intervalle (hier gibt's den Begriff der Spur-Topologie, glaube ich) ein Erzeuger dieser Borel-Sigma-Algebra auf $[0,1]$ sind, dann kannst Du Dir die Frage selbst beantworten.
Unter Vorbehalt, dass ich doch was übersehe: Aber soweit ich weiß, passt Deine Vermutung (ich habe übrigens gerade ein schönes kompaktes Buch gefunden: Maß und Integral, vom Birkhäuser Verlag. Da steht halt wirklich knapp viel drin - und da wir oben einen metrischen Raum haben, sollte das alles zusammenpassen, soweit ich das im Buch richtig kapiere und mich an mein Studium richtig zurückerinnere. Nachprüfen solltest Du es aber dennoch!).
> (Die bezüglich [0,1] offenen Intervalle sínd doch die
> Schnitte der offenen Intervalle der reellen Zahlen mit
> [0,1]?)
Ja, siehe Spur-Topologie - wohl auch Teilraumtopologie genannt (übrigens ist [mm] $[0,1]\,$ [/mm] dann auch offen und abgeschlossen).
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:37 Fr 30.03.2012 | | Autor: | dennis2 |
ja, also mein vorgehen war auch so:
die borel-sigma-algebra ist ja die kleinste sigma-algebra, die die offenen mengen der grundmenge enthält.
und da habe ich mir halt überlegt, was denn die offene mengen bezüglich [0,1] sind und bei diesen dachte ich an die unterraumtopologie.
also ist die borel-sigma-algebra auf [0,1] die kleinste sigma-algebra, die die offenen mengen bezüglich [0,1] enthält.
also die schnitte der offenen mengen bezüglich der ganzen reellen zahlen, geschnitten mit [0,1].
danke, dann lag ich ja richtig.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:18 Sa 31.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ja, also mein vorgehen war auch so:
>
> die borel-sigma-algebra ist ja die kleinste sigma-algebra,
> die die offenen mengen der grundmenge enthält.
so kann man sie definieren (und tut's meistens auch).
> und da habe ich mir halt überlegt, was denn die offene
> mengen bezüglich [0,1] sind und bei diesen dachte ich an
> die unterraumtopologie.
Genau - und dann ist per Definitionem klar, dass Du Recht hast. Ich dachte halt an eine alternative Definition der Borel-Sigma-Algebra auf einem Teilraum mit der Spur-Sigma-Algebra. Das Ergebnis sollte aber das gleiche sein (hoffe ich)!
> also ist die borel-sigma-algebra auf [0,1] die kleinste
> sigma-algebra, die die offenen mengen bezüglich [0,1]
> enthält.
>
> also die schnitte der offenen mengen bezüglich der ganzen
> reellen zahlen, geschnitten mit [0,1].
>
>
> danke, dann lag ich ja richtig.
Ja - jedenfalls sehe ich das genauso: Hier folgt das alles prinzipiell aus der Dir gegebenen Definition der Borel-Sigma-Algebra und der Spurtopologie eines Teilraums eines topologischen Raums!
(Nur nebenbei: Im Studium hatte ich die Borel-Sigma-Algebra erstmal auf [mm] $\IR^n$ [/mm] als die kleinste Sigma-Algebra, die von offenen Intervallen des [mm] $\IR^n$ [/mm] erzeugt wird, kennengelernt. Natürlich zeigt man dann im Laufe der Vorlesung, dass man diese Definition erweitern kann, weil sie halt auch durch die Menge der offenen Mengen erzeugt wird...).
Aber eine weitere Meinung wäre dennoch nicht schlecht: Denn Maßtheoretisch bin ich manchmal doch ein wenig vorschnell und mache Fehlschüsse. Vielleicht kann ja nochmal jmd. drübergucken und uns unsere Überlegungen bestätigen oder gegen's Bein treten, wenn wir falsch liegen ^^ 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:18 Sa 31.03.2012 | | Autor: | dennis2 |
Dankeschön erstmal für Dein Feedback.
Also ich muss ja ganz ehrlich sagen: Maßtheorie ist auch bei mir etwas länger her, "damals" stand ich ganz schön auf Kriegsfuß damit, auch, wenn wir uns am Ende versöhnt haben.
Wenn ich jetzt nochmal einen anderen Blick darauf werfe (zum Beispiel fehlten mir damals die topologischen Grundlagen für Überlegungen wie diese hier), erscheint mir das Ganze eigentlich ganz interessant und schon viel weniger befremdlich.
Trotzdem: Borel-sigma-Algebra, da läuft's mir immer noch kalt den Rücken runter. 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:27 Sa 31.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Dankeschön erstmal für Dein Feedback.
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> Also ich muss ja ganz ehrlich sagen: Maßtheorie ist auch
> bei mir etwas länger her, "damals" stand ich ganz schön
> auf Kriegsfuß damit, auch, wenn wir uns am Ende versöhnt
> haben.
>
> Wenn ich jetzt nochmal einen anderen Blick darauf werfe
> (zum Beispiel fehlten mir damals die topologischen
> Grundlagen für Überlegungen wie diese hier), erscheint
> mir das Ganze eigentlich ganz interessant und schon viel
> weniger befremdlich.
das ging' mir auch so. Ich fand's erst nach dem Studium wirklich interessant: Weil ich dann die Einsatzbereiche erst erkannt und die Struktur mehr kapiert habe.
> Trotzdem: Borel-sigma-Algebra, da läuft's mir immer noch
> kalt den Rücken runter.
Das finde ich weniger schlimm: Ich habe mir einfach behalten, dass das die von den offenen Mengen erzeugte Topologie ist. Damit kann man eigentlich schon sehr gut arbeiten.
Und wie gesagt: Schau' mal in das kleine Buch, was ich erwähnt habe. Ich find's wirklich bisher ganz gut - auch, wenn ich erst die ersten 10 Seiten mal ein wenig näher angeschaut habe. Es ist zwar an manchen Stellen wirklich sehr knapp geschrieben, aber das reizt dann ja auch wieder: Das ganze auseinanderzunehmen und detailliert zu verstehen.
Was ich bei diesen Büchern (Mathematik kompakt) bemängel oder vermisse: Lösungen zu den Aufgaben. Bisher habe ich auch noch nicht gesehen, dass es ein Lösungsbuch zu den Büchern gibt. Aber ich werde wohl irgendwann mal anfangen, für mich selbst Lösungen zusammenzustellen und abzutexen. Wäre nur gut, wenn dann danach noch ein wirklicher Fachmann/eine Fachfrau das ganze begutachtet ^^
Aber ich muss dafür sowieso erstmal die Zeit finden ^^
Gruß,
Marcel
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