Borel Cantelli Lemma < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:17 So 12.06.2011 | | Autor: | jay91 |
| Aufgabe | ich verstehe die folgenden Beispiele nicht so ganz:
1) sei [mm] (X_n) [/mm] eine Folge reellwertiger Zufallsvariablen, die der Bedingung [mm] \summe_{i=1}^{\infty} P(|X_n| [/mm] > [mm] \epsilon) [/mm] < [mm] \infty [/mm] genügt
warum folgt dann P(lim [mm] X_n [/mm] =0)=1
2) sei [mm] (X_n) [/mm] eine Folge von unabhängigen ZV'en, dann ist
[mm] A:=\{\summe_{n} X_n konvergiert\} [/mm] in der terminalen [mm] \sigma [/mm] Algebra, aber für festes c ist [mm] A_c:=\{\summe_{i=1}^{\infty}=c\} [/mm] nicht in der terminalen [mm] \sigma [/mm] Algebra, aber [mm] A_c [/mm] ist in der der [mm] \sigma [/mm] Algebra [mm] G:=X^{-1} [/mm] (K) wobei K die [mm] \sigma [/mm] Algebra der symmetrischen Mengen ist. |
hey!
kann mir jemand die Beispiele bitte erklären.
wenn noch fragen bzgl. der Notation sind, einfach fragen.
mfg
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Hallo,
wie du ja im Titel bereits deutlich machst, muss hier das Lemma von Borel-Cantelli verwendet werden.
> ich verstehe die folgenden Beispiele nicht so ganz:
> 1) sei [mm](X_n)[/mm] eine Folge reellwertiger Zufallsvariablen,
> die der Bedingung [mm]\summe_{i=1}^{\infty} P(|X_n|[/mm] > [mm]\epsilon)[/mm]
> < [mm]\infty[/mm] genügt
> warum folgt dann P(lim [mm]X_n[/mm] =0)=1
Du hast also eine Folge von Ereignissen (Elementen der Sigma-Algebra) [mm] $B_k [/mm] := [mm] \{|X_k| > \varepsilon\}$, [/mm] und für diese gilt:
[mm] $\sum_{k=1}^{\infty}\IP(B_k) [/mm] < [mm] \infty$.
[/mm]
Borel Cantelli liefert --> [mm] $\IP(B) [/mm] = 0$, wobei $B = [mm] \limsup_{k\to\infty} B_k [/mm] = [mm] \{\omega \in \Omega: \omega \in B_k \mbox{ für unendlich viele k}\}$.
[/mm]
Das heißt: Auf der Menge [mm] $\Omega \textbackslash [/mm] N$ (mit N Nullmenge) gilt: [mm] $\omega \in B_k$ [/mm] nur für endlich viele k.
Nach Definition: Auf der Menge [mm] $\Omega \textbackslash [/mm] N$ (mit N Nullmenge) gilt: [mm] $|X_k(\omega)| [/mm] > [mm] \varepsilon$ [/mm] nur für endlich viele k.
--> Damit ist [mm] $X_k$ [/mm] auf [mm] $\Omega \textbackslash [/mm] N$ konvergent gegen 0!
> 2) sei [mm](X_n)[/mm] eine Folge von unabhängigen ZV'en, dann ist
> [mm]A:=\{\summe_{n} X_n konvergiert\}[/mm] in der terminalen [mm]\sigma[/mm]
> Algebra, aber für festes c ist
> [mm]A_c:=\{\summe_{i=1}^{\infty}=c\}[/mm] nicht in der terminalen
> [mm]\sigma[/mm] Algebra, aber [mm]A_c[/mm] ist in der der [mm]\sigma[/mm] Algebra
> [mm]G:=X^{-1}[/mm] (K) wobei K die [mm]\sigma[/mm] Algebra der symmetrischen
> Mengen ist.
Arbeite hier mit dem zweiten Teil des Borel-Cantelli-Lemmas.
Probiere erstmal selbst und schreibe deine Versuche hierhin.
Grüße,
Stefan
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:16 Di 14.06.2011 | | Autor: | jay91 |
bei dem 2. Teil des Borell Cantelli Lemmas müssen die Zufallsvariablen paarweise unabhängig sein, das ist gegeben und außerdem muss [mm] \summe_{i=1}^{\infty} P(A_i) [/mm] = [mm] \infty [/mm] sein.
[mm] A:=\{\summe_{n} X_n konvergiert\}
[/mm]
Beh: A ist in der terminalen [mm] \sigma [/mm] Algebra [mm] T_{\infty}
[/mm]
[mm] T_{\infty}=\bigcap_{n=1}^{\infty} \sigma (X_m), [/mm] m [mm] \ge [/mm] n)
das folgt aus der Konvergenz Eigenschaft: für alle [mm] \epsilon [/mm] >0 ex. [mm] n(\epsilon): |\summe_{m \ge n(\epsilon)}|<\epsilon [/mm] ??
und wie soll ich jetzt den 2. Teil des Borel Cantelli Lemmas anwenden? ICh weiß doch gar nicht, dass die Reihe divergiert, oder??
aber für festes c ist [mm] A_c:=\{\summe_{i=1}^{\infty}X_i=c\} [/mm] nicht in der terminalen [mm] \sigma [/mm] Algebra.
Konvergiert die Reihe nicht gegen c?? und müsste somit auch in der terminalen [mm] \sigma [/mm] Algebra liegen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:21 Do 16.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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