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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 So 25.09.2005 | | Autor: | Athena |
Hallo!
Ohje, ich spamme das Forum hier ganz schön mit Fragen zu, bitte meckern falls das zu viel wird. Soll ich die Fragen lieber alle in einen dicken Thread packen auch wenn dann das Thema nicht mehr auf die neuen Frage passt, oder ist das ok so, dass ich jeweils einen neuen Thread aufmache?
Folgende Funktion: [mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{4}, & \mbox{für } -1 \le x \le 0 \\ \bruch{1}{8}, & \mbox{für } 1 \le x \le 3 \\ \bruch{1}{2} & \mbox{für } 5 \le x \le 6 \\ 0 & \mbox{sonst}\end{cases}
[/mm]
Ich möchte prüfen, ob eine Funktion eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist. Dazu habe ich einen Satz im Skript gefunden, der folgendes aussagt:
$ f: [mm] \IR^{d} \to \IR_{+} [/mm] $ Wahrscheinlichkeitsdichte falls f (Lebesgue)-Integrierbar mit $ [mm] \integral_{\IR^{d}}^{} [/mm] {f(x) dx}=1 $
Schön, also muss ich prüfen ob es Lebesgue-integrierbar ist. Nur, was ist Lebesgue-integrierbar? Das einzige, was zum Thema im Skript steht (das Buch schweigt sich zu Lebesgue völlig aus) ist:
Es existiert genau eine [mm] \sigma-additive [/mm] Abbilding
[mm] \lambda_{d}:B_{d} \to [0,\infty] [/mm] mit
$ [mm] \foralla_{i} \le b_{i}: \lambda_{d}([a_{1},b_{1}] \times [/mm] ... [mm] \times [a_{d},b_{d}]) [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{d}(b_{i}-a_{i}) [/mm] $
[mm] \lambda_{d} [/mm] heißt dann Lebesgue-Maß auf [mm] B_{d}
[/mm]
[mm] (B_{d} [/mm] soll eigentlich in Frakturschrift sein und eine Borel-Menge sein)
Womit wir auch gleich beim nächsten wären, ich verstehe nicht so ganz, was die Borel Mengen sein sollen. Ist eine Borelsche [mm] \sigma [/mm] - Algebra [mm] \sigma(E) [/mm] in [mm] \Omega [/mm] (hier fehlt wieder Frakturschrift ;)) "einfach nur" die kleinste Algebra die sich aus [mm] \Omega [/mm] mit E bildet, die abgeschlossen gegenüber Schnitt und Vereinigung ist?
Eigentlich dachte ich jetzt ich könnte einfach über die jeweiligen Grenzen integrieren.
[mm] \integral_{-1}^{0} {\bruch{1}{4} dx}=\bruch{1}{4} [/mm] sowie [mm] \integral_{1}^{3} {\bruch{1}{8} dx}=\bruch{1}{4} [/mm] und für das letzte Intervall dann [mm] \integral_{5}^{6} {\bruch{1}{2} dx}=\bruch{1}{2}
[/mm]
Nunja, das verträgt sich aber nicht so ganz mit dem was herauskommen soll:
$ [mm] F_x(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x < -1 \\ \bruch{1}{4}(x+1), & \mbox{für } -1 \le x \le 0 \\ \bruch{1}{4}, & \mbox{für } 0 < x < 1 \\ \bruch{1}{8}(x+1) & \mbox{für } 1 \le x \le 3 \\ \bruch{1}{2}, & \mbox{für } 3 < x < 5 \\ \bruch{1}{2}(x-4) & \mbox{für } 1 \le x \le 3 \\ 1 & \mbox{sonst}\end{cases} [/mm] $
Wie werden da die Lücken aufgefüllt? Und woher kommt die Variable x, beim Einsetzen der Integralsgrenzen müsste sie doch wieder verschwinden, oder?
Könnte mir jemand auf den richtigen Weg helfen? Liegt es an meinem fehlenden Verständnis von Lebesgue-Maß und Borel-Mengen? Oder ist es nur die Integrationstechnik für das Lebesgue-Integral, die ich können muß (und nicht kann)? Ich würde mich über Hilfe sehr freuen!
Liebe Grüße
Jessi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:40 Mo 26.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Jessica!
> Ohje, ich spamme das Forum hier ganz schön mit Fragen zu,
> bitte meckern falls das zu viel wird.
Nein, das ist völlig in Ordnung. 
> Soll ich die Fragen
> lieber alle in einen dicken Thread packen auch wenn dann
> das Thema nicht mehr auf die neuen Frage passt, oder ist
> das ok so, dass ich jeweils einen neuen Thread aufmache?
Auf keinen Fall ersteres! Bitte für jede Frage einen neuen Thread, es sei denn es sind unmittelbare Rückfragen auf bereits gegebene Antworten.
> Folgende Funktion: [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{4}, & \mbox{für } -1 \le x \le 0 \\ \bruch{1}{8}, & \mbox{für } 1 \le x \le 3 \\ \bruch{1}{2} & \mbox{für } 5 \le x \le 6 \\ 0 & \mbox{sonst}\end{cases}[/mm]
>
> Ich möchte prüfen, ob eine Funktion eine
> Wahrscheinlichkeitsdichte ist. Dazu habe ich einen Satz im
> Skript gefunden, der folgendes aussagt:
> [mm]f: \IR^{d} \to \IR_{+}[/mm] Wahrscheinlichkeitsdichte falls f
> (Lebesgue)-Integrierbar mit [mm]\integral_{\IR^{d}}^{} {f(x) dx}=1[/mm]
>
> Schön, also muss ich prüfen ob es Lebesgue-integrierbar
> ist. Nur, was ist Lebesgue-integrierbar? Das einzige, was
> zum Thema im Skript steht (das Buch schweigt sich zu
> Lebesgue völlig aus) ist:
> Es existiert genau eine [mm]\sigma-additive[/mm] Abbilding
> [mm]\lambda_{d}:B_{d} \to [0,\infty][/mm] mit
> [mm]\foralla_{i} \le b_{i}: \lambda_{d}([a_{1},b_{1}] \times ... \times [a_{d},b_{d}]) = \produkt_{i=1}^{d}(b_{i}-a_{i})[/mm]
>
> [mm]\lambda_{d}[/mm] heißt dann Lebesgue-Maß auf [mm]B_{d}[/mm]
> [mm](B_{d}[/mm] soll eigentlich in Frakturschrift sein und eine
> Borel-Menge sein)
Vergiss das mit dem Lebesgue-integrierbar.  Hier hast du es ja mit Dichten zu tun und die sind nicht-negativ und sehr gutmütig. Die Funktion ist in diesen Fällen genau dann integrierbar, wenn das Integral endlich ist, und bei solch gutmütigen Funktionen stimmen Lebesgue- und Riemann-Integral eh überein. Wie gesagt, solltest du dir ein Buch zur Maß-und Integrationstheorie vornehmen, um solche technischen Fragen zu bearbeiten. Für die meisten Aufgaben für Nebenfächler reicht es aber aus (ähnlich wie in der Schule) mit dem Kalkül umgehen zu können, insbesondere für solche klassischen Rechenaufgaben wie diese hier.
Auf jeden Fall können wir dir hier im Forum leider (!) nicht die Lebesguesche Integrationstheorie vermitteln.
> Womit wir auch gleich beim nächsten wären, ich verstehe
> nicht so ganz, was die Borel Mengen sein sollen. Ist eine
> Borelsche [mm]\sigma[/mm] - Algebra [mm]\sigma(E)[/mm] in [mm]\Omega[/mm] (hier fehlt
> wieder Frakturschrift ;)) "einfach nur" die kleinste
> Algebra die sich aus [mm]\Omega[/mm] mit E bildet, die abgeschlossen
> gegenüber Schnitt und Vereinigung ist?
>
> Eigentlich dachte ich jetzt ich könnte einfach über die
> jeweiligen Grenzen integrieren.
Das kannst du auch.
> [mm]\integral_{-1}^{0} {\bruch{1}{4} dx}=\bruch{1}{4}[/mm] sowie
> [mm]\integral_{1}^{3} {\bruch{1}{8} dx}=\bruch{1}{4}[/mm] und für
> das letzte Intervall dann [mm]\integral_{5}^{6} {\bruch{1}{2} dx}=\bruch{1}{2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Und jetzt addiere alle zusammen und es kommt $1$ raus, wie gewünscht.
> Nunja, das verträgt sich aber nicht so ganz mit dem was
> herauskommen soll:
>
> [mm]F_x(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x < -1 \\ \bruch{1}{4}(x+1), & \mbox{für } -1 \le x \le 0 \\ \bruch{1}{4}, & \mbox{für } 0 < x < 1 \\ \bruch{1}{8}(x+1) & \mbox{für } 1 \le x \le 3 \\ \bruch{1}{2}, & \mbox{für } 3 < x < 5 \\ \bruch{1}{2}(x-4) & \mbox{für } 1 \le x \le 3 \\ 1 & \mbox{sonst}\end{cases}[/mm]
Hier ging es um etwas ganz anderes, nämlich um die Berechnung der Verteilungsfunktion:
(*) $F(x) = [mm] \int\limits_{-\infty}^x f(t)\, [/mm] dt$.
Du aber wolltest doch nur nachweisen, dass $f$ eine Dichte ist, also:
[mm] $\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(t)\, [/mm] dt=1$.
Versuche doch jetzt mal (*) in Abhängigkeit von $x$ zu berechnen und schaue, ob du auf die Musterlösung kommst...
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Mo 26.09.2005 | | Autor: | Athena |
Erst mal ganz herzlichen Dank für deine Hilfe! *freu* Wenn man mit solcher Hilfe (ich wohne in den Semesterferien leider weit weg von der Uni und kann daher niemand "live" fragen) dann wieder etwas versteht, das einem vorher wie ein Buch mit sieben Siegeln vorkam, dann macht Mathe richtig Spaß. Und es animiert wirklich selbst zu helfen - auch wenn ich im Moment noch etwas Angst habe falsche Antworten zu geben.
Zum Thema:
Ich habe das ganze, wie vorgeschlagen, mal durchgerechnet und verstehe eine Sache aber nicht ganz.
Wenn ich die Formel $ F(x) = [mm] \int\limits_{-\infty}^x t\, f(t)\, [/mm] dt $ verwende komme ich nicht auf das Ergebnis aus der Lösung, nur wenn ich $ F(x) = [mm] \int\limits_{-\infty}^x f(t)\, [/mm] dt $ verwende
Für x < -1 ist [mm] F_{X}(x)=0
[/mm]
Für $ -1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 0 $ ist $ [mm] F_{X}(x)= \integral_{-\infty}^{x} [/mm] {t* [mm] f_{X}(t) [/mm] dt} = 0 + [mm] \integral_{-1}^{x} {t*f_{X}(t) dt} [/mm] = [mm] \integral_{-1}^{x} {t*\bruch{1}{4} dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{8}t^2|_{1}^{x}=\bruch{1}{8}x^{2}-\bruch{1}{8}=\bruch{1}{8}(x^{2}-1) [/mm] $
Das aber ist nicht das Ergebnis. Mit (für -1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 0) $ F(x) = [mm] \int\limits_{-\infty}^x f(t)\, [/mm] dt = 0 + [mm] \int\limits_{-1}^x f(t)\, [/mm] dt = [mm] \bruch{1}{4}t|_{-1}^{x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}(x+1) [/mm] $ komme ich aber auf das gleiche Ergebnis wie in der Lösung.
Was verstehe ich hier noch nicht ganz?
Liebe Grüße
Jessi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Mo 26.09.2005 | | Autor: | Athena |
Das beruhigt mich Dann habe ich es nämlich verstanden!
Ok, die Hintergründe des Lebesgue-Maßes und des Lebesgue-Integrals brauche ich dann nicht. Aber wie ist es mit diesen Borel-Mengen? Bei den Integralen wird häufig statt eines Intervalls eine Menge, z.B. [mm] A\in\mathfrak{B}_{1} [/mm] (hurra, ich hab herausgefunden wie die Frakturschrift geht) angegeben und dann eben $ [mm] \integral_{A}^{} [/mm] {f(x) dx} $ Was genau habe ich denn darunter zu verstehen?
oder auch gern mal $ [mm] \integral_{\IR}^{} [/mm] {f(x) dx} $ (wobei ich das bisher einfach als $ [mm] \integral_{-\infty}^{\infty} [/mm] {f(x) dx} $ interpretiert habe)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:52 Mo 26.09.2005 | | Autor: | Julius |
Liebe Jessica!
Wie gesagt, ich kann hier nicht in die Details gehen, das müsstest du nachlesen.
Es ist halt:
[mm] $\int\limits_{A}f(x) \, [/mm] dx := [mm] \int\limits_{\IR} 1_A(x) \cdot f(x)\, [/mm] dx$.
Nun: In der Regel ist $A$ eine disjunkte Vereinigung von Intervallen oder so etwas, also:
$A= [mm] (x_1,x_2) \cup (x_3,x_4) \cup \ldots \cup (x_{n-1},x_n)$.
[/mm]
Dann ist einfach:
[mm] $\int\limits_{A} f(x)\, [/mm] dx = [mm] \int\limits_{x_1}^{x_2} f(x)\, [/mm] dx + [mm] \int\limits_{x_3}^{x_4} f(x)\, [/mm] dx + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \int\limits_{x_{n-1}}^{x_n}f(x)\, [/mm] dx$.
Das sollte dir erst einmal reichen.
> oder auch gern mal [mm]\integral_{\IR}^{} {f(x) dx}[/mm] (wobei ich
> das bisher einfach als [mm]\integral_{-\infty}^{\infty} {f(x) dx}[/mm]
> interpretiert habe)
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Genau so ist es auch!
(Einer Mathematikerin, die Maßtheorie gehört hat, hätte ich jetzt etwas anders geantwortet als dir; aber, glaube mir, so bringt es dir mehr. )
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:13 Mo 26.09.2005 | | Autor: | Athena |
Vielen Dank! Jetzt kann ich damit etwas anfangen denke ich. Die Antwort für Mathematikerinnen hätte ich vermutlich auch nicht verstanden.
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![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]"){kind=small}
Dies kann nur in einem Zustand völliger geistiger Umnachtung geschehen sein, denn natürlich weiß ich, wie man die Verteilungsfunktion ausrechnet. 