Borelsche- \sigma Algebra < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Es sei (X, d) ein metrischer Raum. Wir bezeichnen die Familie der offenen Teilmengen
mit O(X) und die Familie der abgeschlossenen Teilmengen mit A(X). Zeigen Sie, dass
für die (von O(X) erzeugten) Borelsche - [mm] \sigma [/mm] Algebra B(X) := [mm] U_\sigma(O(X)) [/mm] gilt:
B(X) = [mm] U_\sigma [/mm] (A(X)).
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Sorry ich hab jetzt erstmal den Aufgabentext hingeschrieben.
Also mein Problem ist, dass ich nicht weiß wie ich mit dem Beweis anfangen soll.
ich weiß wie eine [mm] \sigma [/mm] Algebra definiert ist.
damit hört es aber leider auch schon auf.
ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen.
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:16 Di 23.10.2007 | | Autor: | Blech |
> Sorry ich hab jetzt erstmal den Aufgabentext
> hingeschrieben.
> Also mein Problem ist, dass ich nicht weiß wie ich mit dem
> Beweis anfangen soll.
> ich weiß wie eine [mm]\sigma[/mm] Algebra definiert ist.
> damit hört es aber leider auch schon auf.
> ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen.
> danke
Wenn Ihr das ohne weitere Hinweise so machen sollt, dann ist das eine ziemlich fiese Aufgabe.
Der Trick ist zu zeigen, daß Du mit unendlichen Vereinigungen (Schnittmengen) geschlossener (offener) Mengen offene (geschlossene) erzeugen kannst.
Bsp.:
[mm] $\bigcup_{n=1}^\infty [\tfrac{1}{n}, 1-\tfrac{1}{n}]=(0,1)$
[/mm]
Als erstes beweist Du, daß diese Gleichung gilt (über die Definition offener bzw. abgeschlossener Mengen), dann folgerst Du, daß Du jedes Element aus O(X) mit Elementen aus [mm] $\sigma(A(X))$ [/mm] erzeugen kannst und damit dann [mm] $\sigma(O)\subseteq\sigma(A)$. [/mm]
Und dann das ganze umgekehrt.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:27 Di 23.10.2007 | | Autor: | roadrunnerms |
ok,
also das Beispiel das du angegeben hast, hatten wir im letzten semester.
da haben wir es nicht bewiesen sondern einfach gesagt, dass dies zeigt dass die unendlichen Durchschnitte offener Mengen nicht unbedingt offen sind.
wie beweise ich das denn?
tut mir leid aber ich komme bei dem Beweis einfach nicht voran.
hab schon in einigen Büchern mal nachgelesen, aber da wird die borelsche Algebra immer als Definition angegeben und somit ohne Beweis.
Ich muss denn Beweis leider morgen schon abgeben,
ich hoff mir kann jemand weiterhelfen.
danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:09 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Gnometech |
Grüße zusammen!
Eine vielleicht dumme Frage: Ist das Ausschöpfungsargument wirklich notwendig? Es ist doch so, dass jede offene Menge genau das Komplement einer abgeschlossenen Menge ist und umgekehrt (per Definition) und daher folgt doch $O(X) [mm] \subseteq U_\sigma \big( [/mm] A(X) [mm] \big)$ [/mm] und umgekehrt, denn ich kann jede offene Menge als Komplement einer abgeschlossenen schreiben.
Insofern ist die Aufgabe gar nicht so fies... zumal sie ursprünglich nicht für [mm] $\IR$, [/mm] sondern für einen beliebigen metrischen Raum gestellt war und das Argument ohnehin etwas abgewandelt werden müsste... es gilt aber natürlich genauso. (Übung)
Also, man korrigiere mich bitte, wenn ich etwas offensichtliches übersehen habe, aber ich denke, dass es einfacher ist als gedacht.
Gruß,
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:40 Mi 24.10.2007 | | Autor: | SEcki |
> Eine vielleicht dumme Frage: Ist das Ausschöpfungsargument
> wirklich notwendig? Es ist doch so, dass jede offene Menge
> genau das Komplement einer abgeschlossenen Menge ist und
> umgekehrt (per Definition) und daher folgt doch [mm]O(X) \subseteq U_\sigma \big( A(X) \big)[/mm]
> und umgekehrt, denn ich kann jede offene Menge als
> Komplement einer abgeschlossenen schreiben.
Ganz genau - man muss imo hier noch ein bisschen mit "kleinste Sigma Algebra" argumentieren, aber das ist schon alles. Die ist überhaupt nicht fies so, die Aufgabe.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:29 Fr 26.10.2007 | | Autor: | Blech |
> Grüße zusammen!
>
> Eine vielleicht dumme Frage: Ist das Ausschöpfungsargument
> wirklich notwendig?
Nein, das war Schwachsinn. Was soll ich sagen, es war spät und ich war anscheinend nicht mehr zurechnungsfähig...
/me stellt sich in die Ecke und schämt sich =(
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