Borelsche sigma-Algebra < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:57 So 28.04.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Borel'sche [mm] \sigma [/mm] Algebra
Sei [mm] \Omega [/mm] = [mm] \IR^n [/mm] und
[mm] O^n [/mm] = [mm] \{ G \subset \IR^n : G offen \}
[/mm]
[mm] C^n [/mm] = [mm] \{ F \subset \IR^n : F abgeschlossen \}
[/mm]
[mm] K^n [/mm] = [mm] \{ K \subset \IR^n : K kompakt\}
[/mm]
[mm] I^n [/mm] = [mm] \{ [a,b]: a,b \in \IQ mit a \le b komponentenweise \}
[/mm]
[mm] H^n [/mm] = [mm] \{(- \infty, c] , c \in \IQ^n \}
[/mm]
Dann [mm] \sigma(O^n)=\sigma(C^n)=\sigma(K^n)=\sigma(I^n)=\sigma(H^n)
[/mm]
die Borelsche [mm] \sigma [/mm] ALgebra [mm] B(\IR^n)
[/mm]
(Zeige [mm] \sigma(I_n) \subseteq \sigma(K^n) \subseteq \sigma (O^n), \sigma(O^n)= \sigma(G^n) [/mm] und [mm] \sigma(O^n) \subseteq \sigma(I^n), [/mm] sowie [mm] B(\IR^n)= \sigma (H^n)) [/mm] |
Ich hab alles gezeigt, nur bei B [mm] (\IR^n)= \sigma (\{(-\infty,c]: c \in Q^n \}) [/mm] bin ich mir sehr unsicher.
ZZ.: [mm] K^n \subset \sigma(H)
[/mm]
]a,b]= ]- [mm] \infty, [/mm] b] [mm] \setminus [/mm] ]- [mm] \infty [/mm] ,a]
[a,b]= [mm] \bigcap_{n\ge1} [/mm] ]a-1/n,b]
[mm] \sigma-Algebren [/mm] sind unter Durschnitt sowie Komplementen abgeschlossen.
Daraus folgt ganz leicht abgeschlossenheit bez. Mengendifferenz (A [mm] \setminus [/mm] B = A [mm] \cap B^c [/mm] )
ZZ.: [mm] H^n \subset B(\IR^n)
[/mm]
dann dann folgt aus Minimalitätseigenschaft [mm] \sigma(H^n) \subset B(\IR^n)
[/mm]
(- [mm] \infty, [/mm] c]= (- [mm] \infty, [/mm] c-1) [mm] \cup [/mm] [c-1, c]
LG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:25 So 28.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile,
> Sei [mm]\Omega[/mm] = [mm]\IR^n[/mm] und
> [mm]O^n[/mm] = [mm]\{ G \subset \IR^n : G offen \}[/mm]
> [mm]C^n[/mm] = [mm]\{ F \subset \IR^n : F abgeschlossen \}[/mm]
>
> [mm]K^n[/mm] = [mm]\{ K \subset \IR^n : K kompakt\}[/mm]
> [mm]I^n[/mm] = [mm]\{ [a,b]: a,b \in \IQ mit a \le b komponentenweise \}[/mm]
>
> [mm]H^n[/mm] = [mm]\{(- \infty, c] , c \in \IQ^n \}[/mm]
> Dann
> [mm]\sigma(O^n)=\sigma(C^n)=\sigma(K^n)=\sigma(I^n)=\sigma(H^n)[/mm]
> die Borelsche [mm]\sigma[/mm] ALgebra [mm]B(\IR^n)[/mm]
> Ich hab alles gezeigt, nur bei B [mm](\IR^n)= \sigma (\{(-\infty,c]: c \in Q^n \})[/mm]
> bin ich mir sehr unsicher.
Mit [mm] $B(\IR^n)$ [/mm] meinst du sicherlich [mm] $\sigma(O^n)=\sigma(C^n)=\sigma(K^n)=\sigma(I^n)$ [/mm] (deren Gleichheit du schon gezeigt hast).
Aus deinen Bruchstücken lässt sich leicht ein sauber aufgeschriebener Beweis machen:
> ZZ.: [mm]K^n \subset \sigma(H)[/mm]
Nicht [mm] $K^n\subset\sigma(H)$, [/mm] sondern [mm] $I^n\subset\sigma(H)$ [/mm] (und somit [mm] $\sigma(I_n)\subset\sigma(H)$) [/mm] willst du offenbar zeigen.
Für alle [mm] $a,b\in \IQ$ [/mm] ist
> ]a,b]= ]- [mm]\infty,[/mm] b] [mm]\setminus[/mm]
> ]- [mm]\infty[/mm] ,a]
ein Element von [mm] $\sigma(H)$. [/mm] (Denn:
> [mm]\sigma-Algebren[/mm] sind unter Durschnitt
abzählbar vieler Elemente
> sowie Komplementen
> abgeschlossen.
> Daraus folgt ganz leicht abgeschlossenheit bez.
> Mengendifferenz (A [mm]\setminus[/mm] B = A [mm]\cap B^c[/mm] )
)
Daraus folgt für alle [mm] $a,b\in\IQ$: [/mm] Für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] mit [mm] $n\ge1$ [/mm] gilt wegen [mm] $a-\bruch1n\in\IQ$ [/mm] die Aussage [mm] $]a-\bruch1n,b]\in\sigma(H)$. [/mm] Also ist
> [a,b]= [mm]\bigcap_{n\ge1}[/mm] ]a-1/n,b]
ein Element von [mm] $\sigma(H)$. [/mm] (Denn:
> [mm]\sigma-Algebren[/mm] sind unter Durschnitt
abzählbar vieler Elemente
> sowie Komplementen
> abgeschlossen.
)
> ZZ.: [mm]H^n \subset B(\IR^n)[/mm]
> dann dann folgt aus
> Minimalitätseigenschaft [mm]\sigma(H^n) \subset B(\IR^n)[/mm]
Für alle [mm] $c\in\IQ$ [/mm] ist
> (-
> [mm]\infty,[/mm] c]= (- [mm]\infty,[/mm] c-1) [mm]\cup[/mm] [c-1, c]
ein Element von [mm] $B(\IR^n)$, [/mm] da [mm] $(-\infty,c-1)\in O^n\subseteq B(\IR^n)$ [/mm] und [mm] $[c-1,c]\in I^n\subseteq B(\IR^n)$ [/mm] gilt.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:39 So 28.04.2013 | | Autor: | sissile |
Danke für das Zusammenflicken ;)
LG
|
|
|
|
