Box- und Produkttopologie < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:27 Fr 12.08.2011 | | Autor: | Loko |
| Aufgabe | | Kann mir jemand den Unterschied erklären? |
Wir haben in der Vorlesung die Boxtopologie nur kurz erwähnt. Jetzt beim Lernen würde mich aber doch der Unterschied zur Produkttopologie interessieren.
Ich hab auch schon ein bisschen rumgesucht, und gefunden, dass die Basen sich so unterscheiden:
[mm] \IR^{w} [/mm] := [mm] \produkt_{i \in \IN}\IR [/mm] die Menge aller reellen Folgen
[mm] B_{Box} [/mm] = [mm] \{ \produkt_{i \in \IN} U_{i} : U_{i}\subseteq \IR offen \} [/mm] = [mm] \{\bigcap_{i \in \IN}p_{i}1{-1}(U_{i}) : U_{i}\subseteq \IR offen \}
[/mm]
und
[mm] B_{Prod} [/mm] = [mm] \{ \bigcap_{i \in K}p_{i}1{-1}(U_{i}) : K \subseteq \IN endlich und U_{i} \subseteq \IR offen \}
[/mm]
(Mit den [mm] p_{i} [/mm] die Projektionen)
Ist also der Unterschied, dass die Boxtopologie den unendlichen Schnitt als Basis hat? Mit ist nicht klar was ich daraus schließen kann.....
Ich hoffe es hat wer Lust zu antworten :)
Viele Grüße
Loko
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:38 Fr 12.08.2011 | | Autor: | f12 |
Guten Tag Loko
Zuerst einmal zu Definition:
Produkt-Topologie:
Sei [mm] X_\alpha [/mm] topologischer Raum für alle $\ [mm] \alpha [/mm] $ (in deinem Fall $\ [mm] \IR [/mm] $) und $\ [mm] \alpha \in [/mm] J$ eine Indexmenge. Dann schaust du dir das kartesische Produkt an:
[mm] \produkt_{\alpha \in J} X_\alpha[/mm]
Darauf definieren wir nun die Produkttopologie:
[mm] S_\alpha = \{\pi_\alpha^{-1}(U_\alpha) | U_\alpha \text{ offen in } X_\alpha \} [/mm]
und
[mm] S = \bigcup_{\alpha \in J} S_\alpha[/mm]
Dann ist die Produkttopologie die Topologie, die durch die Subbasis $\ S $ generierte Topologie. Die Abbildung $\ [mm] \pi_\alpha [/mm] $ ist die normale Projektion auf $\ [mm] X_\alpha [/mm] $.
Die Boxtopologie ist "einfacher" definiert: Sie ist die Menge aller Mengen, der Form:
[mm]\produkt_{\alpha \in J} U_\alpha[/mm] wobei $\ [mm] U_\alpha [/mm] $ offen ist in $\ [mm] X_\alpha \forall \alpha \in [/mm] J$.
Mann kann zeigen, dass die beiden Topologien für ENDLICHE Produkte identisch sind. Sie unterscheiden sich nur im unendlichen Fall.
Man verwendet aber lieber die Produkttopologie, da viele Eigenschaften nur für sie gelten. Ich empfehle dir das Buch: Topology von James R. Munkres. Dies ist meines Erachtens das beste Buch über Topologie. Es zählt zu meinen absoluten Favoriten unter allen Mathebüchern.
Freundliche Grüsse
f12
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:05 Sa 13.08.2011 | | Autor: | Loko |
Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Das Buch werd ich mir mal angucken :)
Lg Loko
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