Brauche eine Lösung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:28 So 13.08.2006 | | Autor: | plankton |
| Aufgabe | | Lösen sie die Gleichung dp(z)/dz=(p(z)+s)/z |
Hi,
schreibe grad an eine Hausarbeit für ein VWL-Seminar und hab mich schon durch den Rest gekämpft.
Leider hab ich noch nie was von Differenzialgleichungen gehört und habe versucht mich in die Thematik einzulesen und bin irgendwie immer noch nicht weiter.
Mir fehlen die Rechenschritte für die obige Gleichung, da die Lösung im Paper gegeben ist
Lösung wäre: p(z)=v*z+s mit v=(p+s)/z
Wäre toll, wenn mir jemand das mal Schritt für Schritt erklären kann
Danke
bye Plankton
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:32 So 13.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Plankton!
> Lösen sie die Gleichung dp(z)/dz=(p(z)+s)/z
> Hi,
> schreibe grad an eine Hausarbeit für ein VWL-Seminar und
> hab mich schon durch den Rest gekämpft.
>
> Leider hab ich noch nie was von Differenzialgleichungen
> gehört und habe versucht mich in die Thematik einzulesen
> und bin irgendwie immer noch nicht weiter.
> Mir fehlen die Rechenschritte für die obige Gleichung, da
> die Lösung im Paper gegeben ist
>
> Lösung wäre: p(z)=v*z+s mit v=(p+s)/z
Moment mal! Es ist also $p(z) = v z + s = [mm] \frac{p + s}{z} [/mm] z + s = p + s + s = p + 2 s$, also ist die Funktion unabhaengig von $z$?! Damit ist $d p(z)/d z = 0$, jedoch ist $(p(z) + s)/z = (p + 2 s + s)/z = (p + 3 s)/z$ im allgemeinen nicht 0, es sei denn $p + 3 s = 0$... Also entweder gilt $p + 3 s = 0$, oder dies ist keine Loesung der DGL!
Nachtrag #1: Oeh, und vor allen Dingen: $p$ ist die Funktion, also macht der Ausdruck $v = [mm] \frac{p + s}{z}$ [/mm] ja so richtig keinen Sinn! Irgendwas stimmt da nicht!
Nachtrag #2: Mmmh, also wenn du die Funktion $p(z) = v z - s$ betrachtest, mit $v$ einer beliebigen Konstante, dann waer das eine Loesung: Es ist $d p(z)/d z = v$, und $(p(z) - s)/z = (v z)/z = v$. Hast du dich vielleicht vertippt? Auf jeden Fall stimmt $v = [mm] \frac{p \pm s}{z}$ [/mm] nicht!
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:21 So 13.08.2006 | | Autor: | plankton |
Hi Felix,
danke für deine Hilfe.
Also das v soll die Integrationskonstante sein und v definiert sich als (p+s)/z wobei das p von z abhängt.
Die Lösung stimmt schon (kommt auch laut maple raus), aber ich finde den Lösungsweg nicht, weil das für mich total neu ist
Wie würdest du denn die Gleichung lösen?
bye Plankton
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:22 So 13.08.2006 | | Autor: | plankton |
achja, der autor hat die lösung auch vereinfacht damit diese rauskommt
ist das v vielleicht der anfangswert den man für die integrationskonstante einsetzt?
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Also, ich bin mir deiner Aufgabenstellung nicht ganz sicher.
meiner Meinung nach ist v wohl auch eine Konstante, das hieße aber, daß v sowas wie [mm] $v=\bruch{p_0+s}{z_0}$ [/mm] ist, daß also dieses p und dieses z einen einzelnen, festen Wert beschreiben.
Es sieht so aus, als wenn das ganze eine Grade beschreiben soll: p(z)=vz+s, wobei v eben die Steigung der Graden ist. Die Steigung einer solchen Graden ist ja [mm] $\bruch{dp(z)}{dz}=p'(z)=\bruch{p_0-s}{z_0-0}$
[/mm]
Das einzige, was hier stört, ist, daß die Vorzeichen in beiden Gleichungen nicht übereinstimmen. Ausgehend von meiner letzten Gleichung, die ja die Aufgabe wiedergibt, ist dann p(z)=vz+s mit [mm] $v=\bruch{p_0\red-\black s}{z_0}$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:32 So 13.08.2006 | | Autor: | plankton |
oh, hab nen schreibfehler in der lösung gehabt:
die muss sein p(z)=v*z-s
macht es jetzt sinn? ansonsten, kann jemand ne gute lektüre zum thema empfehlen?
und danke für die antworten, toll das man irgendwo hilfe finden kann
bye Plankton
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:20 So 13.08.2006 | | Autor: | riwe |
ich schreibe deine gleichung mal "normal":
y´= [mm] \frac{y+s}{x}
[/mm]
dann löst man das zeugs durch trennung der variablen
[mm] \integral_{}^{}{\frac{ dy}{y+s}}=\integral_{}^{}{\frac{ dx}{x}}
[/mm]
mit der lösung
y = Cx -s
was mit deiner übereinstimmt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:35 So 13.08.2006 | | Autor: | plankton |
cool, das hilft weiter und sieht super aus, hab da vorhin was zu gelesen ... danke euch allen. Ist echt toll hier
bye Plankton
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 So 13.08.2006 | | Autor: | plankton |
hmm, wie integriert man das, damit man dann auf die lösung kommt?
steh da grad auf nen schlauch..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 So 13.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> hmm, wie integriert man das, damit man dann auf die lösung
> kommt?
> steh da grad auf nen schlauch..
Der Logarithmus ist dein Freund! Es ist naemlich [mm] $(\ln [/mm] x)' = [mm] \frac{1}{x}$, [/mm] womit [mm] $\int \frac{dx}{x} [/mm] = [mm] \ln [/mm] x + C$ ist. Und [mm] $\int \frac{dy}{y + s}$ [/mm] kannst du durch eine Substitution loesen. Oder einfach direkt [mm] $\ln(y [/mm] + s)$ ableiten und die Loesung sehen 
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 So 13.08.2006 | | Autor: | plankton |
dacht ich mir, aber hab keine ahnung wie ich das ln(y+s) auflöse, ist zu lange her ... bitte bitte bitte ... helf mir lieber Felix, ich denke die ln's verschwinden dann irgendwie oder? aber wie..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:21 So 13.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> dacht ich mir, aber hab keine ahnung wie ich das ln(y+s)
> auflöse, ist zu lange her ... bitte bitte bitte ... helf
> mir lieber Felix, ich denke die ln's verschwinden dann
> irgendwie oder? aber wie..
Die Ableitung von [mm] $\ln(y [/mm] + s)$, nach $y$ abgeleitet, ist [mm] $\frac{1}{y + s}$ [/mm] (Kettenregel, die innere Funktion ist $f(y) := y + s$, mit Ableitung 1). Also ist [mm] $\int \frac{dy}{y + s} [/mm] = [mm] \ln(y [/mm] + s) + D$.
Du hast also [mm] $\ln(y [/mm] + s) + D = [mm] \ln [/mm] x + C$ mit zwei Konstanten $C, D$. Damit bekommst du [mm] $\ln(y [/mm] + s) - [mm] \ln [/mm] x = C - D =: X$ mit einer neuen Konstanten $X$. Nun ist [mm] $\ln(y [/mm] + s) - [mm] \ln [/mm] x = [mm] \ln \frac{y + s}{x}$, [/mm] und Exponentieren auf beiden Seiten liefert [mm] $\frac{y + s}{x} [/mm] = [mm] e^{\ln \frac{y + s}{x}} [/mm] = [mm] e^X$. [/mm] Dabei ist [mm] $e^X \neq [/mm] 0$ eine neue Konstante. Wenn du das jetzt nach $y$ aufloest, bekommst du die Loesung raus!
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 So 13.08.2006 | | Autor: | plankton |
aber nun steht doch [mm] $e^{\ln\frac{y+s}{x}}=e^x [/mm] $ aber wie soll ich das nun nach y auflösen? hmm..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 So 13.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> aber nun steht doch [mm]e^{\ln\frac{y+s}{x}}=e^x[/mm] aber wie soll
> ich das nun nach y auflösen? hmm..
Vorsicht, das $x$ auf der rechten Seite ist eine Konstante und kein kleines $x$ (was eine Variable ist)!
Du musst benutzen, dass [mm] $e^{\ln x} [/mm] = x$ ist fuer alle $x [mm] \in \IR$. [/mm] Dann steht auf der linken Seite naemlich [mm] $\frac{y + s}{x}$ [/mm] anstatt [mm] $e^{\ln \frac{y + s}{x}}$...
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:46 So 13.08.2006 | | Autor: | plankton |
Gut, das kann ich nun auflösen :) und das [mm] $e^X$ [/mm] auf der rechten Seite ist irgendeine Integrationskonstante, wofür der Autor dann nen Startwert gewählt hatte ... aha
Aber wieso führt die Annahme [mm] $e^{lnx}=x$ [/mm] zur Auflösung des [mm] $e^{ln}$ [/mm] auf der linken Seite? Was bedeutet dies genau?
Dann haben wir es ja gleich geschafft, danke dir und den anderen.
werde das forum unbedingt in meinen favoriten speichern
bye Plankton
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 So 13.08.2006 | | Autor: | plankton |
Wieso kann man es so umformen, dass das e^ verschwindet?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 So 13.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Wieso kann man es so umformen, dass das e^ verschwindet?
Das ist per Definition so: Der natuerliche Logarithmus [mm] $\ln [/mm] x$ ist als Umkehrfunktion von der Exponentialfunktion [mm] $\exp [/mm] : [mm] \IR \to \IR$, [/mm] $x [mm] \mapsto e^x$ [/mm] definiert. Und damit gilt [mm] $\exp(\ln(x)) [/mm] = x$, also [mm] $e^{\ln x} [/mm] = x$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:44 So 13.08.2006 | | Autor: | plankton |
Dacht ich mir, noch mal vielen Dank für die Hilfe von dir und den anderen.
Wünsche allen eine tolle neue Woche
bye Plankton
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