Brent vs. Newton < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
ich soll sowohl das Brentverfahren als auch das gewöhnliche Newton-Verfahren implementieren und vergleichen.
Die Programme sind fertig. Jetzt suche ich schöne Bespiele, bei denen z.B. das Brent-Verfahren nur einen Durchlauf benötigt, und das Newtonverfahren viel mehr und andersrum falls es sowas gibt.
Vllt kennt ja einer von euch schöne Bsp. oder eine Seite wo ich solche finde.
Danke!
lg Kai
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> Hallo zusammen,
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> ich soll sowohl das Brentverfahren als auch das
> gewöhnliche Newton-Verfahren implementieren und
> vergleichen.
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> Die Programme sind fertig. Jetzt suche ich schöne
> Bespiele, bei denen z.B. das Brent-Verfahren nur einen
> Durchlauf benötigt, und das Newtonverfahren viel mehr und
> andersrum falls es sowas gibt.
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> Vllt kennt ja einer von euch schöne Bsp. oder eine Seite
> wo ich solche finde.
>
> Danke!
>
> lg Kai
Hi Kai,
nur ein einziger Durchlauf ist für ein Näherungsverfahren
schon recht viel verlangt - damit das der Fall ist, müsste
man Beispiele wirklich geradezu "zurechtschneidern" ...
Für Beispiele mit unterschiedlichem Konvergenzverhalten
geht es wohl darum, Funktionen zu nehmen, welche sich
in der Umgebung der gesuchten Nullstelle graphisch recht
unterschiedlich verhalten. Dafür würde ich zum Beispiel
Funktionen suchen, die bei der Nullstelle eine sehr starke
oder aber eine sehr schwache Krümmung haben oder solche
mit großem Anstieg bei der Nullstelle, der aber dann rasch
abnimmt. Versuchen kann man es auch mit Graphen, die
in der Umgebung der Nullstelle wellenartig (auch mit wech-
selnder Amplitude) gekräuselt sind.
Der Einfachheit würde ich mich allerdings auf solche Beispiele
beschränken, die nur eine Nullstelle haben (damit die Verfahren,
falls sie überhaupt konvergieren, nur gegen diesen einen Wert
laufen können).
LG Al-Chw.
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Erstmal danke für deine Antwort!
Das Problem daran ist, dass die Funktionen auch noch gut aussehen sollen.
Die Verfahren sind fürs mehrdimensionale, d.h. die Funktion sollte schon von den [mm] $\IR^2$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] abbilden, oder eben in den [mm] $\IR^k$, [/mm] wo die Beträge der Funktionswerte betrachtet werden können.
Die meisten Funktionen die ich bisher gebastelt habe sind Mischungen aus cos, sin, e, log und Polynomen, aber alle bei denen nicht langweilige Konvergenzverhalten vorliegt sind einfach nicht spektakulär. Und zu dem Vortrag wünscht sich unser Dozent irgendeine "spektakuläre" Funktion, und da dachte ich vllt gibt es da so Paradebeispiele die sich schon durchgesetzt haben...
lg Kai
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Hallo,
beim Begriff "gewöhnliches Newtonverfahren" dachte ich
natürlich an eine differenzierbare reelle Funktion einer
reellen Variablen.
Wenn du nun aber z.B. differenzierbare Funktionen f: [mm] \IR^2\to\IR
[/mm]
betrachten willst, hast du es doch im Allgemeinen gar nicht
mit isolierten Nullstellen zu tun, gegen welche so ein Ver-
fahren konvergieren kann, sondern z.B. mit ganzen Lösungs-
kurven (Niveaulinien). Jetzt verstehe ich nicht recht, wie das
Newtonverfahren in einem solchen Fall überhaupt funktio-
nieren soll ...
Mit dem Fall f: [mm] \IR^2\to\IR^2 [/mm] könnte ich schon deutlich mehr anfangen.
"Nullstellen" wären dann Punkte N(x/y) mit f(x,y)=(0,0).
Um auf Ideen und Beispiele zu kommen, würde ich trotzdem
zuerst vom eindimensionalen Fall ausgehen. Ich werde mir
noch ein paar Gedanken dazu machen.
LG
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Hallo Kai,
ich habe mir nur mal für den eindimensionalen Fall ein
paar Beispiele ausgedacht, die ich ausprobieren würde,
falls ich die entsprechenden Programme hätte.
$\ [mm] f_1(x)\ [/mm] =\ [mm] x^9-0.5$ (0\le x\le [/mm] 1)
$\ [mm] f_2(x)\ [/mm] =\ [mm] x^\frac{1}{9}-0.5$ (0\le x\le [/mm] 1)
$\ [mm] f_3(x)\ [/mm] =\ [mm] \begin{cases} x*\left[\,sin\left(\frac{1}{x}\right)+1.2\ \right] & falls \quad x\not=0 \\ \qquad 0 & falls \quad x=0 \end{cases}$ (-0.2\le x\le [/mm] 0.1)
Beim letzten Beispiel sieht das Newtonsche Verfahren
wohl ziemlich dumm aus ...
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:23 Sa 19.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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