Bruchungleichung - Umformung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 Mo 21.08.2006 | | Autor: | Lueger |
| Aufgabe | | [mm] \bruch{1}{(x+2)}>\bruch{-1}{(x-5)} [/mm] |
Hallo,
habe eine Frage zu oben stehender Aufgabe und zwar zur Umformung.
Wenn ich mit einer Addition den Term so umforme
[mm] \bruch{1}{(x+2)}+\bruch{1}{x-5}>0 [/mm] komme ich auf die Lösung....
Wenn ich aber nicht wie oben durch eine Addition den Bruch umforme sonderen den Teil (x-5) rübermultipliziere komme ich auf
[mm] \bruch{x-5}{x+2}>\bruch{-1}{1} [/mm] und dann noch die -1 rüber Addiert dann bin ich bei
[mm] \bruch{x-5}{x+2}+1>0 [/mm] = [mm] \bruch{x-5+x+2}{x+2}>0
[/mm]
mir fehlt quasi ein (x-5) im Nenner
Ich weiß das das zweite falsch ist aber nicht wo der Fehler liegt ... ???
Kann mir jemand vom Schlauch runter helfen??? 
Vielen Dank
Gruß
Lueger
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Hallo!
Denk daran, dass sich das Ungleichheitszeichen umdreht, wenn $x-5<0$! Du musst also eine Fallunterscheidung machen. Dann solltest du eigentlich auf das richtige Ergebnis kommen.
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Mo 21.08.2006 | | Autor: | Lueger |
Hallo banachella,
danke für deine schnelle Antwort
Das mit der Fallunterscheidung habe ich natürlich vergessen, aber ich komme über diese Umformung immer noch nicht auf die richtig Lösung.
für (x-5) > 0
[mm] \bruch{(x-5+x+2)}{x+2} [/mm] > 0
für (x-5) < 0
[mm] \bruch{(x-5+x+2)}{x+2} [/mm] < 0
Dies kann aber nicht stimmen da z.B. die Definitionslücke 5 wie im ersten Term gar nicht mehr auftaucht ... die Lösungsmengen sind total unterschiedlich ... d.h. ich hab irgendwas immernoch .. oder schon wieder falsch umgeformt ....
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Ich bin mir nicht sicher, aber kannst du bei deinem letzten Schritt nicht einfach dann mit x+2 beide Seiten multiplizieren, so dass der Bruch wegfliegt?
[mm] \Rightarrow\IL=\{x\in\IR | x>\bruch{3}{2}\wedge x \not= -2 \wedge x \not= 5 \}
[/mm]
Ich übernehme keine Garantie für die Richtigkeit, überprüfe doch einmal per Probe.
Gruß,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 Mo 21.08.2006 | | Autor: | Lueger |
Hallo Stefan
> Ich bin mir nicht sicher, aber kannst du bei deinem letzten
> Schritt nicht einfach dann mit x+2 beide Seiten
> multiplizieren, so dass der Bruch wegfliegt?
hm keine Ahnung ... ich glaube aber nicht denn dann fliegen ja auch definitionslücken raus....
> [mm]\Rightarrow\IL=\{x\in\IR | x>\bruch{3}{2}\wedge x \not= -2 \wedge x \not= 5 \}[/mm]
kann nicht stimmen .. über den "normalen" Umformungsweg kommt
[mm] \IL=]-2;+\infty[ \setminus[1,5;5] [/mm] raus
derive sagt ... -2 < x < [mm] \bruch{3}{2} \wedge [/mm] x > 5 also quasi das gleiche
hm... ?
Grüße
Lueger
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:15 Mo 21.08.2006 | | Autor: | Denny22 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
zunächst ist der vierte Beitrag von "Stefan-auchLotti" völliger Quatsch! Nimm $x=4$ aus seiner Lösungsmenge und die Ungleichung gilt nicht.
So, also nun erkläre ich es Dir nun Schritt für Schritt. Du musst zunächst zwei Fallunterscheidungen machen:
1. Fall: $(x-5)>0$
Es gilt nun:
$x>5$ also $x+2>7>0$ also $0<\bruch{1}{(x+2)}<\bruch{1}{7}$ also $\bruch{1}{(x+2)}>0$
Du kannst somit deine Ungleichung mit $(x-5)$ multiplizieren, OHNE dass sich dein "Größer-Kleiner-Zeichen" ändert, d.h.
$\bruch{1}{(x+2)}+\bruch{1}{(x-5)}>0$ $\gdw$ $\underbrace{\underbrace{\underbrace{(x-5)}_{>0}*\underbrace{\bruch{1}{(x-2)}}_{>0}}_{>0}+\underbrace{1}_{>0}}_{>0}>0$
Da nun das Produkt zweier positiver Zahlen positiv und die Summe zweier positiver Zahlen positiv ist, ist der gesamte Ausdruck positiv. Mit anderen Worten:
Die Ungleichung gilt für $(x-5)>0$ (also $x>5$).
Nun zum
2.Fall: $(x-5)<0$ UND $x\not=-2$
Da $(x-5)<0$ (also negativ) ändert sich nun bei der Muliplikation von $(x-5)$ das "Größer-Kleiner Zeichen", d.h.
$\bruch{1}{(x+2)}+\bruch{1}{(x-5)}>0$ $\gdw$ $(x-5)*\bruch{1}{(x+2)}+1<0$
So, an dieser Stelle sollte man Obacht geben. Wir müssen hier nämlich zwei Unterfälle unterscheiden, und zwar $x\in]-2,5[$ und $x\in]-ßinfty,-2[$ oder anders ausgedrückt $(x+2)>0$ und $(x+2)<0$, d.h.
1. Unterfall: $(x+2)>0$ (d.h. $x\in]-2,5[$)
Dann lässt sich die Ungleichung Ohne weiteres mit $(x+2)$ multiplizieren, d.h.:
$(x-5)*\bruch{1}{(x+2)}+1<0$ $\gdw$ $x-5+x+2<0$ $\gdw$ $2x-3<0$ $\gdw$ $2x<3$ $\gdw$ $x<\bruch{3}{2}$
D.h. die Ungleichung gilt falls $x>-2$ und $x<\bruch{3}{2}$, also für $-2<x<\bruch{3}{2}$ (also $x\in]-2,\bruch{3}{2}[$.
Für $\bruch{3}{2}<x<5$ gilt die Ungleichung somit NICHT.
Nun zum
2. Unterfall: $(x+2)<0$ (d.h. $x\in]-\infty,-2[$)
Da wir wieder mit einer negativen Zahl multiplizieren (also mit $(x+2)<0$) ändert sich das "Größer-Kleiner-Zeichen", d.h.
$(x-5)*\bruch{1}{(x+2)}+1<0$ $\gdw$ $x-5+x+2>0$ $\gdw$ $2x-3>0$ $\gdw$ $2x>3$ $\gdw$ $x>\bruch{3}{2}$
Da nun $(x+2)<0$ also $x<-2$ ist, kann $x>\bruch{3}{2}$ nicht gelten. Folglich gilt die Ungleichung für $x\in]-\infty,-2[$ also für $(x+2)<0$ NICHT.
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Wir erhalten somit also Lösungsmenge, d.h. als Menge von Zahlen, für die die Ungleichung gilt:
$\IL := ]-2,\bruch{3}{2}[\cup]5,+\infty[ = \{x\in\IR | (x>5) oder (x>-2 und x<\bruch{3}{2})$.
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So das war die Lösung Deiner Aufgabe. Falls du die Funktionen
$y = f(x) = \bruch{1}{(x+2)}$ und $y = f(x) = \bruch{-1}{(x-5)}$
mit einem Programm (wie z.B.: Graphmatica) zeichen lässt, dann kannst Du Dich vergewissern, dass dies die richtige Lösung ist. Außerdem wird Dir dann vielleicht auch klarer, weswegen man die Fallunterscheidungen macht.
Viel Spaß noch beim Verstehen.
Ciao und Gruß Denny
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:07 Mi 23.08.2006 | | Autor: | Lueger |
Hallo Denny22,
WOW vielen Dank für deine Antwort.
Jetzt hab ichs kapiert...
Also vielen Dank noch mal für die ganze Mühe die du dir gemacht hast.
Grüße
Lueger
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:42 Mo 21.08.2006 | | Autor: | Denny22 |
Deine Antwort ist falsch, nimm mal $x=4$ aus deiner Lösungsmenge.
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