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Hallo, habe folgende Aufgabe:
[mm] \integral_{f(x) dx} \bruch{x}{1+4*x^2}
[/mm]
Wie geht man den hier vor? Mit Substitution ? Und wenn was substituiere ich ?
Danke für Hilfe
Habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
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Hallo tunetemptation!
Da im Zähler fast die Ableitung des Nenners steht (es fehlt lediglich ein konstanter Faktor), substituiert hier man am besten den Nenner:
$$u \ := \ [mm] 1+4*x^2$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Danke erstmal.
Dann bekomme ich x/u.
ISt [mm] (0,5*x^2)/u.
[/mm]
Wenn ich wieder u resubs. bekomme ich [mm] (0,125*x^2)/(x^2 [/mm] + 0,25).
Stimmt dann das ?
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Hallo, du hast aber jetzt wunderbar deine Variablen gemischt, was ist zu integrieren, was ist die Stammfunktion?
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{x}{1+4x^{2}}dx}
[/mm]
Substitution:
[mm] u=1+4x^{2}
[/mm]
[mm] u':=\bruch{du}{dx}=8x
[/mm]
[mm] dx=\bruch{du}{8x}
[/mm]
jetzt einsetzen
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{x}{u}\bruch{du}{8x}}
[/mm]
- jetzt schaue, was du kürzen kannst!
- was kannst du mit [mm] \bruch{1}{8} [/mm] machen?
- jetzt kannst du das Integral wunderbar lösen!
- nicht die Rücksubstitution vergessen!
Steffi
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Danke habs gerade auch rausbekommen. Hab ja völlig die Susbregel vernachlässigt. Trotzdem danke
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Hallo,
habe da aber noch eine zweite Aufgabe wo ich nicht ganz schlau draus werde.
[mm] \integral_{f(x) dx}\bruch{x+2}{x^2+2*x+2}.
[/mm]
Mein Weg:
[mm] x^2 [/mm] +2*x+2 als u subs.
du/dx= 2x+2
nach dx aufgelöst : du/(2*2+2)
Einsetzten
[mm] \integral_{f(x) dx} \bruch{x+2}{u}*\bruch{1}{2*x+2}*du
[/mm]
So und nun ? Muss dass eigentlich nicht rausfallen ???
Laut TR ist das Integral von dann zusammengefasst [mm] \bruch{x+2}{2*u*x+2*u}*du [/mm]
= (0,5*ln(u)*(x+2))/(x+1)
Dann statt u wieder [mm] x^2+2*x+2 [/mm] einsetzten. Dass Ergebnis was ich bekomme ist aber falsch, warum ???
Und wie kommt der TR auf diesen Term ??
Bitte um hilfe
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Hallo tunetemptation,
> Hallo,
> habe da aber noch eine zweite Aufgabe wo ich nicht ganz
> schlau draus werde.
>
> [mm] $\integral{\bruch{x+2}{x^2+2\cdot{}x+2} \ dx}$
[/mm]
>
> Mein Weg:
> [mm]x^2[/mm] +2*x+2 als u subs.
> du/dx= 2x+2
> nach dx aufgelöst : [mm] du/(2*\red{x}+2) [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Einsetzten
> [mm]\integral_{f(x) dx} \bruch{x+2}{u}*\bruch{1}{2*x+2}*du[/mm]
>
> So und nun ? Muss dass eigentlich nicht rausfallen ???
> Laut TR ist das Integral von dann zusammengefasst
> [mm]\bruch{x+2}{2*u*x+2*u}*du[/mm]
> = (0,5*ln(u)*(x+2))/(x+1)
Das ist ja ein Kuddelmuddel mit mehreren Variablen, so kannst du nicht integrieren.
Dein Ausgangsintegral ist weitaus verzwickter als das in der ersten aufgabe
Du solltest das Integral zunächst etwas umformen:
[mm] $\int{\frac{x+2}{x^2+2x+2} \ dx}=\int{\frac{x+1+1}{x^2+2x+2} \ dx}=\int{\frac{x+1}{x^2+2x+2} \ dx} [/mm] \ + \ [mm] \int{\frac{1}{x^2+2x+2} \ dx}$
[/mm]
Das erste Teilintegral kannst du nun relativ leicht nach dem Schema deiner Substitution lösen
Das zweite ist weit schwieriger.
Schreibe es noch weiter um zu [mm] $\int{\frac{1}{1+(x+1)^2} \ dx}$
[/mm]
Nun kennst du entweder das Integral [mm] $\int{\frac{1}{1+z^2} \ dz}$ [/mm] oder schlägst es in einer Integraltabelle nach.
Zu Fuß lösen kannst du das Integral [mm] $\int{\frac{1}{1+(x+1)^2} \ dx}$ [/mm] über die Substitution [mm] $u:=\tan(x+1)$
[/mm]
> Dann statt u wieder [mm]x^2+2*x+2[/mm] einsetzten. Dass Ergebnis was
> ich bekomme ist aber falsch, warum ???
> Und wie kommt der TR auf diesen Term ??
Das ist ein Unfugterm, da du den TR mit 2 Variablen gefüttert hast, da hat er eine als Konstante betrachtet oder wie auch immer
Dieses Integral ist kein allzu leichtes, da ist einiges an Akrobatik nötig, siehe die Tipps oben
Hast du dir das Bsp. selber ausgedacht? Es sieht irgendwie nicht nach einer Aufgabe aus, die zu Beginn der Anwendung der Substitutionsregel gestellt wird 
>
> Bitte um hilfe
LG
schachuzipus
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Danke werde mir es in ruhe durchschauen.
Aufgabe is vom Prof Prüfung Mathe 1
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kann ich nicht auch den bruch als produkt auseinanderziehen und dann part. integrieren , oder ist das noch mehr aufwand ???
Und was ich ich mit der 1 im Nenner vom 2. Term ? Wie bekomme ich die weg ?
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Hallo nochmal,
> kann ich nicht auch den bruch als produkt auseinanderziehen
> und dann part. integrieren , oder ist das noch mehr aufwand
> ???
Ich wüsste nicht wie, das Problem an deiner direkten Substitution ist, dass du nach dem Ersetzen das $x$ nicht vernünftig aus dem Integral wegkriegst, das kürzt sich leider nicht weg, daher meine Umformung.
Wenn - wie in (meinem) ersten Integral - im Zähler $x+1$ steht, dann klappt das ...
> Und was ich ich mit der 1 im Nenner vom 2. Term ? Wie
> bekomme ich die weg ?
Die fällt nach meiner angegebenen Substitution doch weg
Was ist denn mit [mm] $u:=\tan(x+1)$ [/mm] dann [mm] $\frac{du}{dx}$ [/mm] ?
Drücke die Ableitung mit einem Tangens aus!
Dann siehst du's schon.
Schaue dir vllt. auch mal die Herleitung der Stammfunktion von [mm] $\int{\frac{1}{1+z^2} \ dz}$ [/mm] an.
Irgendwo im Skript oder im Netz, das geht analog mit der Substitution [mm] $u:=\tan(z)$
[/mm]
LG
schachuzipus
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