Brüche richtig ausrechnen < Klassen 5-7 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:57 So 18.09.2005 | | Autor: | Mathe |
Hi,
ich bin gerade dabei, Differentialrechnung zu lernen und hier bin ich auf eine Wissenslücke von mir gestoßen - Ausrechnen von Brüchen 
1 1
--------- - --------
[mm] x_{0} [/mm] + h [mm] x_{0}
[/mm]
------------------------
h
Kann mir jemand den mathematischen Hintergrund erklären, wie ich alles so auflösen kann, dass ich keine drei sondern nur noch einen Bruchstrich habe?
Sehr gerne kann auch einen Link ins Internet mit einer kleinen Exkursion für mein Problem gepostet werden, da ich bisher nur Infos gefunden habe, wie man "normale" Brüche ausrechnet.
Die Lösung ist mir bekannt, der Rechenweg dorthin jedoch nicht.
Lieben Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Mathe!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> ich bin gerade dabei, Differentialrechnung zu lernen und
> hier bin ich auf eine Wissenslücke von mir gestoßen -
> Ausrechnen von Brüchen
Na, da hast du aber bei deiner Angabe über den mathematischen Background geschummelt. Oder macht man Differentialrechnung neuerdings schon in der ersten Klasse? Und Brüche? Die auch?
> 1 1
> --------- - --------
> [mm]x_{0}[/mm] + h [mm]x_{0}[/mm]
> ------------------------
> h
>
> Kann mir jemand den mathematischen Hintergrund erklären,
> wie ich alles so auflösen kann, dass ich keine drei sondern
> nur noch einen Bruchstrich habe?
Also, man kann Brüche hier auch sehr schön mit dem Formeleditor darstellen:
Du meinst wohl:
[mm] \bruch{\bruch{1}{x_0+h}-\bruch{1}{x_0}}{h}
[/mm]
Was macht man denn, wenn man Brüche dividiert? Man multipliziert mit dem Kehrbruch, das ist dir sicher bekannt. Und was ist der Kehrbruch von h? Natürlich [mm] \bruch{1}{h}. [/mm] Also können wir auch schreiben:
[mm] (\bruch{1}{x_0+h}-\bruch{1}{x_0})*\bruch{1}{h}
[/mm]
und da brauchen wir jetzt nur noch die Klammer auszumultiplizieren:
[mm] \bruch{1}{x_0+h}*\bruch{1}{h}-\bruch{1}{x_0}*\bruch{1}{h} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(x_0+h)*h}-\bruch{1}{x_0*h}
[/mm]
Schaffst du den Rest nun alleine?
> Sehr gerne kann auch einen Link ins Internet mit einer
> kleinen Exkursion für mein Problem gepostet werden, da ich
> bisher nur Infos gefunden habe, wie man "normale" Brüche
> ausrechnet.
Also, ich kenne hierzu keinen Link, aber ich denke, dass ich dir deinen Bruch in einen "normalen" umgewandelt habe, oder?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 So 18.09.2005 | | Autor: | Mathe |
Hi,
danke für die Antwort und danke für den Tipp mit dem Formeleditor!
Mit deiner Antwort komme ich leider nicht mit:
$ [mm] \bruch{\bruch{1}{x_0+h}-\bruch{1}{x_0}}{h} [/mm] $ soll ergeben: $ [mm] \bruch{x_0-(x_0+h)}{x_0(x_0+h)h} [/mm] $ und dann $ [mm] \bruch{-1}{x_0(x_0+h)} [/mm] $
Ich habe das mal mit $ [mm] (\bruch{1}{x_0+h}-\bruch{1}{x_0})\cdot{}\bruch{1}{h} [/mm] $ nachgerechnet, ich glaube, ich muss da irgendwie anders rechnen.
Oder stehe ich gerade zu sehr auf dem Schlauch?
Danke & Gruß
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Hi, Mathe,
(bist eigentlich "in der falschen Abteilung" gelandet: Deine Frage gehört eher NICHT in die Klassen 5 - 8!)
Bei Deiner Frage geht es ja letztlich darum, den Bruch durch h zu kürzen.
Du musst zunächst den Zähler in einen einzigen Bruch verwandeln:
[mm] \bruch{1}{x_{o}+h} [/mm] - [mm] \bruch{1}{x_{o}} [/mm] =(***)
Hauptnenner: [mm] (x_{o}+h)*x_{o}
[/mm]
Daher: (***) = [mm] \bruch{x_{o}}{(x_{o}+h)x_{o}} [/mm] - [mm] \bruch{x_{o}+h}{(x_{o}+h)x_{o}} [/mm] =
[mm] \bruch{x_{o}-(x_{o}+h)}{(x_{o}+h)x_{o}} [/mm]
= [mm] \bruch{-h}{(x_{o}+h)x_{o}}
[/mm]
Jetzt kannst Du das in Deinem ursprünglichen Term verwenden:
[mm] \bruch{\bruch{-h}{(x_{o}+h)x_{o}}}{h}
[/mm]
Wie wandelt man nun einen solchen Doppelbruch in einen einfachen Bruch um?
Nun: Indem man den Zählerbruch mit dem Kehrwert des Nenners multipliziert!
Der Kehrwert von h aber ist [mm] \bruch{1}{h}, [/mm] daher:
[mm] \bruch{-h}{(x_{o}+h)x_{o}} [/mm] * [mm] \bruch{1}{h}
[/mm]
= [mm] \bruch{-h}{(x_{o}+h)x_{o}*h}
[/mm]
Und nun (endlich !!!) kannst Du durch h kürzen:
[mm] \bruch{-1}{(x_{o}+h)x_{o}}
[/mm]
Danach käme die Grenzwertbildung:
Wenn du jetzt h gegen 0 gehen lässt, kommt als Grenzwert
[mm] \bruch{-1}{(x_{o}+0)x_{o}} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{x_{o}^{2}} [/mm] raus.
Dies ist die Steigung des Graphen an der Stelle [mm] x_{o}.
[/mm]
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