Bsp. Funktion Linearisieren < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:46 Fr 05.04.2013 | | Autor: | mleczko |
| Aufgabe | Funktion f mit f(x,y) = [mm] (\wurzel{3x^2 + 5y^4 + 1}+cos(\pi*x), exp(x^2-y) [/mm] + [mm] 2sin(\pi*y/2))
[/mm]
Diese Funktion wird an der Stelle (x0,y0)=(1,1) ausgewertet, Wie groß ist der Fehler, den man bei der Funktionsauswertung macht, wenn die Eingangsdaten mit den Fehlern [mm] \Deltax=0,07 [/mm] und [mm] \Deltay=0,12 [/mm] behaftet sind? Bitte sowohl den exakten Fehler als auch den durch Linearisierung erhaltenen Näherungswert angeben. |
Halle liebe Matheraum- und Mathematikfreunde,
Semester fängt an und nach der 2ten Vorlesung hab ich schon ein Problemchen, an dem ich seit 21 Uhr sitze. Leider ist uns wohl vieles nicht gezeigt worden wie ich denke und brauche eure Hilfe sowie wird der Prof. diese Aufgabe auch nicht mehr ansprechen.
Die Linearisierung mit einer Variable wurde in der Vorlesung gezeigt. Funktionen werden "vereinfacht" angenähert. Desweiteren wurde die Tangentialebene angesprochen(=Taylor-Formel?). So habe ich mir herausgeschlossen, dass man mit der Formel für die Tangentialebene diese liniearisieren kann und weiß nun, dass exp(x) nichts anderes ist als [mm] e^x. [/mm] :)
Ich dachte mir also zuerst, dass ich mir diese Funktion nun linearisiere. Doch da kam nun ein Problem: Ich müsste hierzu die Funktion mal partiell ableiten, jedoch weiß ich erstmal nicht, wie ich mit der Funktion in dieser Form f(x,y) = [mm] (\wurzel{3x^2 + 5y^4 + 1}+cos(\pi*x), exp(x^2-y) [/mm] + [mm] 2sin(\pi*y/2)) [/mm] umgehen soll, da die "nicht direkt" in einer Form wie f(x,y)=5x+7z+usw. steht. Mich stört also dieses "Komma" dazwischen :)
Die einzelnen Funktionskomponenten kann man wohl nicht einzeln partiell ableiten, macht auch keinen Sinn bei der Formel. Was ist den der Unterschied zwischen beider Darstellungen?
Wenn ich dann also die Linearisierte Funktion hätte, müsste man daraus dann den Fehler "ablesen"? In einem Wikipedia-Artikel war die Tangentialebenenformel abgebildet, wo z0 konstant war (ist auch klar :)) und der Rest als [mm] \Deltax [/mm] bezeichnet wurde. Müsste ich also dann x und y einsetzen und erhielte mein [mm] \Deltax?! [/mm] Aber den hab ich doch schon gegeben. Irgendwie macht das doch keinen Sinn.
Wobei mir schon die Aufgabenstellung ein Fragezeichen aufmacht: Man Linearisiert eine Funktion an einem Punkt um diese also durch Angenäherung (approximieren) zu vereinfachen. Aber wenn man nur diesen Punkt betrachtet, dann 'gibt es doch keine Fehler'? Bzw. wenn man hier einen eingebaut hatte, wo liegt nun der Sinn darin?
Kam auch zur Taylorreihe im Internet, die leider nicht wirklich meine Lücken füllen konnten.
Würde mich echt freuen, wenn ihr mir das Erklären würdet, wie man die Aufgabe berechnet und WAS man da eig. macht. Ist bestimmt nicht mal relevant für das Modul, aber mich interessiert es sehr (obwohl ich leider kein Mathe studiere sondern eine Ingenieurwissenschaft, da ich für Mathe wie hier zu dumm bin) und würde es gerne wissen. Bin mir im klaren, dass es für euch 'ne Menge Arbeit sein wird, dieses zu erklären, doch leider wurde in der 2ten Vorlesung nichts gesagt bzw. nur die wie ich denke Tangentialebene angedeutet.
Vielen Dank! :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:56 Sa 06.04.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine Funktion stellt ein Vektorfeld dar, hat also Vektoren als Erhebnisse.
du behandelst die einzelnen Komponenten einfach getrennt.
linearisieren kann man sich nur als Tangentialebenen an die Komponentenfkt vorstellen.
Fehler: statt aud der fkt um [mm] \Delta [/mm] x und [mm] \Delta [/mm] y weiterzugehen, feht man auf der Tangentilebene (bzw der Tangente) diese Stücke. sonst musst du ja den Wert an der Stelle ausrechnen, das Stück nach links und rechts gehen und neu ausrechnen und voneinander abziehen. Da man Fehler sowieso nur ungefähr kennt ist das für kleine Fehler viel einfacher.
so gibtst du vereinfacht den Fehler in x Richtung mit [mm] \partial f/\partial x*\Delta [/mm] x an usw.
Gruss leduart
Gruss leduart
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