C-Differenzierbarkeit < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:18 Mo 05.05.2014 | | Autor: | Wensch |
| Aufgabe | Untersuchen sie, ob f: [mm] \IC \rightarrow \IC [/mm] mit [mm] f(z)=z\cdot \overline{z} [/mm]
[mm] \IC- [/mm] Differenzierbar ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Meine Idee:
Sei z [mm] \in \IC \Rightarrow [/mm] z lässt sich schreiben als z = x + iy mit [mm] x,y\in\IR
[/mm]
Betrachte nun [mm] f(z)=f(x+iy)=(x+iy)(x-iy)=x^2+y^2=:f(x,y)
[/mm]
f ist offenbar [mm] \IR- [/mm] diff'bar mit f'(x,y)=(2x,-2y)
[mm] \Rightarrow [/mm] f ist [mm] \IC- [/mm] diff'bar [mm] \forall [/mm] z [mm] \in \IC
[/mm]
Ist das richtig? Kann ich sofort auf [mm] \IC-Diffbarkeit [/mm] schließen?
Danke für die Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Mo 05.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen sie, ob f: [mm]\IC \rightarrow \IC[/mm] mit [mm]f(z)=z\cdot \overline{z}[/mm]
> [mm]\IC-[/mm] Differenzierbar ist.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Meine Idee:
>
> Sei z [mm]\in \IC \Rightarrow[/mm] z lässt sich schreiben als z = x
> + iy mit [mm]x,y\in\IR[/mm]
>
> Betrachte nun [mm]f(z)=f(x+iy)=(x+iy)(x-iy)=x^2+y^2=:f(x,y)[/mm]
>
> f ist offenbar [mm]\IR-[/mm] diff'bar mit f'(x,y)=(2x,-2y)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f ist [mm]\IC-[/mm] diff'bar [mm]\forall[/mm] z [mm]\in \IC[/mm]
>
>
> Ist das richtig?
Nein.
> Kann ich sofort auf [mm]\IC-Diffbarkeit[/mm]
> schließen?
Nein.
Es gilt: sei D eine offene Teilmenge von [mm] \IC, [/mm] f:D [mm] \to \IC [/mm] eine Funktion u:=Re(f) und v:=Im(f). Ist [mm] z_0=x_0+iy_0 \in [/mm] D [mm] (x_0,y_0 \in \IR), [/mm] so ist f in [mm] z_0 [/mm] komplex differenzierbar genau dann, wenn f in [mm] (x_0,y_0) [/mm] reell differenzierbar ist und die Cauchy-Riemannschen Dglen
[mm] u_x(x_0,y_0)=v_y(x_0,y_0), \quad u_y(x_0,y_0)=-v_x(x_0,y_0)
[/mm]
gelten.
Wenn Du das beherzigst, so solltest Du sehen: $ [mm] f(z)=z\cdot \overline{z} [/mm] $ ist in [mm] z_0 [/mm] komplex differenzierbar [mm] \gdw z_0=0.
[/mm]
FRED
>
> Danke für die Hilfe!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Mo 05.05.2014 | | Autor: | Wensch |
Ich verstehe diesen Tipp nicht. Wie soll ich jetzt vorgehen?
[mm] f(z)=z\cdot \overline{z}. [/mm] Der Realteil ist doch dann 2 und der Im-Teil 0. u=2 und v=0. Was bringt mir das?
Ich verstehe es nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 Mo 05.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich verstehe diesen Tipp nicht. Wie soll ich jetzt
> vorgehen?
>
> [mm]f(z)=z\cdot \overline{z}.[/mm] Der Realteil ist doch dann 2 und
> der Im-Teil 0. u=2 und v=0. Was bringt mir das?
???
Es ist [mm] u(x,y)=x^2+y^2 [/mm] und v(x,y)=0 !!!!!
FRED
>
> Ich verstehe es nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Mo 05.05.2014 | | Autor: | Wensch |
Ach so! Jetzt habe ichs.
Und weil u(x,y)=v(x,y) [mm] \Leftrightarrow z_0=0 [/mm] folgt,
dass f nur bei [mm] z_0=0 \IC- [/mm] diff'bar ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 Mo 05.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ach so! Jetzt habe ichs.
nein, hast Du nicht !
>
> Und weil u(x,y)=v(x,y) [mm]\Leftrightarrow z_0=0[/mm] folgt,
Das ist doch Unfug !
> dass f nur bei [mm]z_0=0 \IC-[/mm] diff'bar ist?
Wir hatten [mm] u(x,y)=x^2+y^2 [/mm] und v(x,y)=0.
Dann ist [mm] u_x(x,y)=2x, u_y(x,y)=2y, v_x(x,y)=0 [/mm] und [mm] v_y(x,y)=0
[/mm]
Also: [mm] u_x(x,y)=v_y(x,y) [/mm] und [mm] u_y(x,y)=-v_x(x,y) \gdw [/mm] (x,y)=(0,0)
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:34 Mo 05.05.2014 | | Autor: | Wensch |
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:36 Mo 05.05.2014 | | Autor: | fred97 |
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FRED
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