C^1-Diffeom. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:34 Mo 10.12.2012 | | Autor: | Lustique |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Es seien $B=\left\{x'\in\mathbb{R}^{d-1}:|x'|<1}\right\}$ und $\mathbb{R}_+^d:=\mathbb{R}^{d-1}\times (0, \infty)$.
a) Zeigen Sie, dass
$\varphi\colon B\times (0, \infty)\to\mathbb{R}_+^d, \qquad \varphi(\xi, r)=(r\xi, r\sqrt{1-|\xi|^2})$
ein $C^1$-Diffeomorphismus ist und berechnen Sie $|\det D\varphi|$. |
Hallo,
ich komme gerade leider bei der dieser Aufgabe nicht weiter. Ich habe schon gezeigt, dass $\varphi$ bijektiv ist, und die Stetigkeit ist ja klar und da gibt es nichts mehr zu zeigen (denke ich mal), aber jetzt hakt es bei mir bei der Funktionaldeterminante, da ich auch leider in Linearer Algebra noch nicht so bewandert bin.
Wenn ich dann zeigen kann, dass $|\det D\varphi|\neq 0$ und dass $\varphi'(\xi, r)$ stetig ist, dann habe ich doch schon gezeigt, dass $\varphi$ ein $C^1$-Diffeomorphismus ist, oder?
Ich habe mich dann an die Bestimmung der Funktionalmatrix gemacht und bin zu folgendem Ergebnis gekommen:
$D\varphi(\xi, r)=\begin{pmatrix}r \cdot E_{d-1} & \xi \\ \frac{-\xi_1 r}{\sqrt{1-|\xi|^2}} \cdots \frac{-\xi_{d-1} r}{\sqrt{1-|\xi|^2}} & \sqrt{1-|\xi|^2}\end{pmatrix}$
Dabei hat die oberste "Zeile" der Matrix d-1 Zeilen und die erste "Spalte" d-1 Spalten. Ich hoffe mal, so wird klar, wie ich das meine. $E_{d-1}$ soll die d-1-dimensionale Einheitsmatrix sein.
Ist die Funktionalmatrix/Jacobi-Matrix so richtig? Wie rechne ich jetzt am besten die Determinante aus? Sollte ich das Ganze nach der ersten Zeile entwickeln, oder kann ich mir das schenken, weil sich die Determinante aufgrund der Struktur irgendwie anders ausrechnen lässt (wegen der Einheitsmatrix)?
Falls ich die Determinante tatsächlich stumpf ausrechnen muss, gibt es eine Möglichkeit so etwas wie $\frac{-\xi_1 r}{\sqrt{1-|\xi|^2}} \cdots \frac{-\xi_{d-1} r}{\sqrt{1-|\xi|^2}}$ kompakter zu formulieren, da davon ja bei jedem Enwicklungsschritt eine Komponente wegfallen müsste (sollte ich nach der ersten Zeile entwickeln), oder?
Und noch eine Frage zur Stetigkeit der Ableitung: Kann ich hier einfach argumentieren, dass die einzelnen partiellen Ableitungen offensichtlich stetig sind, und damit auch die totale Ableitung, oder ist da mehr zu tun?
Ich bin wie immer dankbar für jede Hilfe, die ich bekommen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:03 Di 11.12.2012 | | Autor: | Lustique |
Sollte das hier einer der Moderatoren lesen: Ich habe meine Frage selbst beantwortet. Könntet ihr die Frage vielleicht auf beantwortet stellen, oder sowas in der Art? Ich kann mir ja leider nicht selbst antworten.
Ich habe eben noch mal ein kleines Buch durchgeblättert und bin dabei auf folgenden Satz gestoßen:
Sei [mm] $\mathbf{H}:=\begin{pmatrix}\mathbf{A} & \mathbf{B} \\ \mathbf{C} & \mathbf{D}\end{pmatrix}$ [/mm] die Zerlegung einer [mm] $n\times [/mm] n$-Matrix in vier Teilmatrizen, wobei [mm] $\mathbf{A}$ [/mm] und [mm] $\mathbf{D}$ [/mm] quadratisch sind. [mm] $\mathbf{A}$ [/mm] sei invertierbar. Dann gilt:
[mm] $\det \mathbf{H} [/mm] = [mm] \det \mathbf{A} \cdot \det\left(\mathbf{D}-\mathbf{C}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}\right)$.
[/mm]
Damit ging das Ganze dann recht einfach. Den Rest werde ich dann wohl alleine hinbekommen.
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