C^1-Isomorphismus < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Sei [mm] U:=\IR^s\backslash \{0\}, f:U\toU, f(x):=\bruch{x}{\parallel x\parallel_2^2} [/mm] |
Ich soll zeigen das die Funktion überall ein lokaler [mm] C^1-Isomorphismus [/mm] ist. Normalerweise löse ich Aufgaben dieser Art immer indem ich das Differential bilde und anschließend die Funktionaldeterminante bestimme. Diese gibt ja Auskunft darüber wo die Fkt. ein [mm] C^1-Isomorphismus [/mm] ist. Bei dieser Funktion bin ich mir jedoch etwas unsicher ob man das vielleicht nicht auch anders zeigen kann. Hat jemand eine Idee?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:01 Mi 10.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]U:=\IR^s\backslash \{0\}, f:U\toU, f(x):=\bruch{x}{\parallel x\parallel_2^2}[/mm]
>
> Ich soll zeigen das die Funktion überall ein lokaler
> [mm]C^1-Isomorphismus[/mm] ist. Normalerweise löse ich Aufgaben
> dieser Art immer indem ich das Differential bilde und
> anschließend die Funktionaldeterminante bestimme. Diese
> gibt ja Auskunft darüber wo die Fkt. ein [mm]C^1-Isomorphismus[/mm]
> ist. Bei dieser Funktion bin ich mir jedoch etwas unsicher
> ob man das vielleicht nicht auch anders zeigen kann.
Wozu willst Du das anders zeigen ? machs doch so
FRED
> Hat
> jemand eine Idee?
|
|
|
| |
|
Die Fkt. schaut ja folgendermaßen aus: [mm] f(x)=\bruch{x}{x_1^2+...+x_s^2}. [/mm] Kann ich hier jetzt ganz normal die partiellen Ableitungen nach [mm] x_1,...,x_s [/mm] bilden oder muss ich noch etwas berücksichtigen? Da kann ja keine quadratische Matrix herauskommen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:31 Mi 10.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> Die Fkt. schaut ja folgendermaßen aus:
> [mm]f(x)=\bruch{x}{x_1^2+...+x_s^2}.[/mm] Kann ich hier jetzt ganz
> normal die partiellen Ableitungen nach [mm]x_1,...,x_s[/mm] bilden
> oder muss ich noch etwas berücksichtigen? Da kann ja keine
> quadratische Matrix herauskommen.
Hä ? Was soll sonst rauskommen ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:35 Mi 10.08.2011 | | Autor: | Dath |
Ich glaube es wurde scheinbar nicht berücksichtigt, dass man nicht einmal, sondern zweimal ableiten muss, so dass eine n x n-Matrix rauskommt, die aufgrund der Vertauschbarkeit der Reihenfolge der partiellen Ableitungen, symmetrisch zu sein hat. (Satz von Schwarz)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:50 Mi 10.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich glaube es wurde scheinbar nicht berücksichtigt, dass
> man nicht einmal, sondern zweimal ableiten muss, so dass
> eine n x n-Matrix rauskommt, die aufgrund der
> Vertauschbarkeit der Reihenfolge der partiellen
> Ableitungen, symmetrisch zu sein hat. (Satz von Schwarz)
Was soll das ????
Es ist $U [mm] \subseteq \IR^s$ [/mm] und $f:U [mm] \to \IR^s$,
[/mm]
[mm] $f(x)=f(x_1,x_2,...,x_s)=\bruch{(x_1,...,x_s)^T}{x_1^2+...+x_s^2}$.
[/mm]
Damit ist die Jacobi-Matrix von f eine reelle $s [mm] \times [/mm] s$ - Matrix.
FRED
|
|
|
| |
|
Danke, genau dieser Ansatz hat mir gefehlt. Die Wurzel bei dir ist nur zu viel, weil der Betrag wird in der Angabe noch zum Quadrat genommen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:02 Mi 10.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> Danke, genau dieser Ansatz hat mir gefehlt. Die Wurzel bei
> dir ist nur zu viel,
Ja, Du hast recht. Habs korrigiert
FRED
> weil der Betrag wird in der Angabe
> noch zum Quadrat genommen.
|
|
|
|
