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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:44 Fr 09.12.2011 | | Autor: | saendra |
| Aufgabe | ich soll beweisen, dass [mm] T:=\bigcap_{i=1}^{\infty}C_i [/mm] die Menge der Zahlen aus [0,1] sind, die eine triadische
Entwicklung mit den Zi ffern 0 und 2 erlauben. |
die triadischer Entwicklung mit den Zi ffern 0 und 2 ist dies hier, habe ich herausgefunden: [mm] x=\summe_{i=0}^{n}\bruch{k_i}{3^i}, [/mm] mit [mm] k_i\in\ \{0,2\}
[/mm]
wobei ich nicht sicher bin, ob der laufindex bis [mm] \infty [/mm] oder bis n gehen muss.
aber wie beweist man so etwas?
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Hallo saendra,
> ich soll beweisen, dass [mm]T:=\bigcap_{i=1}^{\infty}C_i[/mm] die
Verrätst Du uns, was die [mm] C_i [/mm] sind?
> Menge der Zahlen aus [0,1] sind, die eine triadische
> Entwicklung mit den Zi ffern 0 und 2 erlauben.
>
> die triadischer Entwicklung mit den Zi ffern 0 und 2 ist
> dies hier, habe ich herausgefunden:
> [mm]x=\summe_{i=0}^{n}\bruch{k_i}{3^i},[/mm] mit [mm]k_i\in\ \{0,2\}[/mm]
>
> wobei ich nicht sicher bin, ob der laufindex bis [mm]\infty[/mm]
> oder bis n gehen muss.
Die Summe läuft bis [mm] \infty.
[/mm]
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:10 Fr 09.12.2011 | | Autor: | saendra |
achso ja natürlich, [mm] C_i [/mm] ist eine zahlenfolge, [mm] C_0:=[0,1], [/mm]
[mm] C_1=[0,\bruch{1}{3}]\cup[\bruch{2}{3},1],
[/mm]
[mm] C_2=[0,\bruch{1}{9}]\cup[\bruch{2}{9},\bruch{3}{9}]\cup[\bruch{6}{9},\bruch{7}{9}]\cup[\bruch{8}{9},1] [/mm] usw.
also bei jedem weiteren glied wird das mittlere offene drittel der intervalle entfernt
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:35 Fr 09.12.2011 | | Autor: | saendra |
sonst fehlen keine infos, oder?
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>>> ich soll beweisen, dass
$ [mm] T:=\bigcap_{i=1}^{\infty}C_i [/mm] $
>>> die Menge der Zahlen aus [0,1] sind, die eine triadische
>>> Entwicklung mit den Zi ffern 0 und 2 erlauben.
>>> die triadische Entwicklung mit den Zi ffern 0 und 2 ist dies hier,
>>> habe ich herausgefunden:
$ [mm] x=\summe_{i=0}^{n}\bruch{k_i}{3^i}, [/mm] $ mit $ [mm] k_i\in\ \{0,2\} [/mm] $
>>> wobei ich nicht sicher bin, ob der laufindex bis $ [mm] \infty [/mm] $ oder bis n gehen muss.
>>> aber wie beweist man so etwas?
>> Verrätst Du uns, was die $ [mm] C_i [/mm] $ sind?
> wobei ich nicht sicher bin, ob der laufindex bis $ [mm] \infty [/mm] $
> oder bis n gehen muss.
>> Die Summe läuft bis $ [mm] \infty. [/mm] $
> achso ja natürlich, $ [mm] C_i [/mm] $ ist eine zahlenfolge ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
$ [mm] C_0:=[0,1], [/mm] $
$ [mm] C_1=[0,\bruch{1}{3}]\cup[\bruch{2}{3},1], [/mm] $
$ [mm] C_2=[0,\bruch{1}{9}]\cup[\bruch{2}{9},\bruch{3}{9}]\cup[\bruch{6}{9},\bruch{7}{9}]\cup[\bruch{8}{9},1] [/mm] $ usw.
> also bei jedem weiteren glied wird das mittlere offene drittel der intervalle entfernt
> sonst fehlen keine infos, oder?
Jetzt kann man die Aufgabenstellung verstehen.
Hallo saendra,
Die [mm] C_i [/mm] sind nicht Zahlen, sondern Mengen.
Um der Aufgabe näherzukommen, könntest du mal
alles ganz analog im gewohnteren Dezimalsystem
betrachten. Überlege dir zu diesem Zweck, welche
Zahlen im Intervall [0...1] man im Dezimalsystem
nur mit den Ziffern 0 und 9 schreiben kann.
Betrachte dazu die Mengen
$\ [mm] D_i\ [/mm] =\ [mm] \{x\in[0\,...\,1\,]\ \ |\ \ x\ hat\ an\ der\ i-ten\ Dezimalstelle\ eine\ 0\ oder\ eine\ 9\,\}$ [/mm]
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 Fr 09.12.2011 | | Autor: | saendra |
danke Al-Chwarizmi, dass du mir hilfst.
ich würde sagen, die Menge der Zahlen x im Intervall [0,1], die man im Dezimalsystem nur mit den Ziffern 0 und 9 schreiben kann, ist:
[mm] \{x=\summe_{i=1}^{\infty}k_i\cdot10^{-i}\ |\ k_i \in \{0,9\} \ \forall i\in \IN \}
[/mm]
stimmt das?
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> danke Al-Chwarizmi, dass du mir hilfst.
>
> ich würde sagen, die Menge der Zahlen x im Intervall
> [0,1], die man im Dezimalsystem nur mit den Ziffern 0 und 9
> schreiben kann, ist:
>
> [mm]\{x=\summe_{i=1}^{\infty}k_i\cdot10^{-i}\ |\ k_i \in \{0,9\} \ \forall i\in \IN \}[/mm]
>
> stimmt das?
Ja, natürlich.
Nun solltest du dir aber klar machen, wo diese Zahlen geometrisch
gesehen im Intervall [0,1] liegen. Beachte dazu den Tipp mit den
Mengen [mm] D_i [/mm] , den ich dir schon angegeben habe !
[mm] D_1 [/mm] ist zum Beispiel die Menge aller Zahlen in [0,1] , welche vor dem
Dezimalpunkt eine Null und an der ersten Stelle danach eine 0 oder eine 9
haben. Alle weiteren (unendlich vielen) Dezimalstellen dürfen beliebig
aus {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 } gewählt werden.
Schreibe nun die Menge [mm] D_1 [/mm] als Vereinigung von Intervallen.
Dann kannst du dir dasselbe für [mm] D_2 [/mm] überlegen, etc.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Sa 10.12.2011 | | Autor: | saendra |
also [mm] D_1 [/mm] war ja leicht zu bestimmen:
[mm] D_1= \{ x=\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{x_j}{10^j} \} \cup \{ x=0,9+\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{x_j}{10^j} \}
[/mm]
[mm] \red{[}----\red{]}------------------\red{[}----\red{]}
[/mm]
0 0,1 0,9 1
aber bei [mm] D_2=\{ x= \bruch{x_1}{10}+ \summe_{k=3}^{\infty}\bruch{x_j}{10^j} \} \cup \{ x= \bruch{x_1}{10}+ 0,09+ \summe_{k=3}^{\infty}\bruch{x_j}{10^j} \} [/mm] (hoffe das stimmt) ist es ja fast unmöglich diese menge zu zeichnen, das sind ja so viele winzige intervalle...?
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> also [mm]D_1[/mm] war ja leicht zu bestimmen:
>
> [mm]D_1= \{ x=\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{x_j}{10^j} \} \cup \{ x=0,9+\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{x_j}{10^j} \}[/mm]
>
> [mm]\red{[}----\red{]}------------------\red{[}----\red{]}[/mm]
> 0 0,1 0,9 1
>
>
> aber bei [mm]D_2=\{ x= \bruch{x_1}{10}+ \summe_{k=3}^{\infty}\bruch{x_j}{10^j} \} \cup \{ x= \bruch{x_1}{10}+ 0,09+ \summe_{k=3}^{\infty}\bruch{x_j}{10^j} \}[/mm]
> (hoffe das stimmt) ist es ja fast unmöglich diese menge zu
> zeichnen, das sind ja so viele winzige intervalle...?
Weil ja aber am Ende eh nur die Schnittmenge aller [mm] D_i [/mm]
gefragt ist, könntest du so argumentieren: Betrachte
zunächst noch die Mengen [mm] E_i [/mm] mit
$\ [mm] E_0\ [/mm] =\ [mm] D_0\ [/mm] =\ [0,1]$
$\ [mm] E_1\ [/mm] =\ [mm] D_0\cap{D_1}\ [/mm] =\ [mm] D_1$
[/mm]
$\ [mm] E_2\ [/mm] =\ [mm] D_0\cap{D_1}\cap{D_2}\ [/mm] =\ [mm] E_1\cap{D_2}$
[/mm]
$\ [mm] E_3\ [/mm] =\ [mm] D_0\cap{D_1}\cap{D_2}\cap{D_2}\ [/mm] =\ [mm] E_2\cap{D_3}$
[/mm]
...
...
Dann besteht [mm] E_i [/mm] aus "nur" [mm] 2^{i} [/mm] disjunkten Intervallen,
und die [mm] E_i [/mm] bilden eine Kette mit [mm] $E_0\supset E_1\supset E_2\supset E_3\supset\ [/mm] ...$
und [mm] $\limes_{i\to\infty}E_i\ [/mm] =\ T$ bzw. [mm] $\bigcap_{i=0}^{\infty}E_i\ [/mm] =\ T$
LG Al-Chw.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:03 Sa 10.12.2011 | | Autor: | saendra |
das ist doch das T aus meiner aufgabenstellung oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Sa 10.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> das ist doch das T aus meiner Aufgabenstellung oder?
Ja, natürlich mit dem Unterschied, dass das jetzt für das
Dezimalsystem statt für das Dreiersystem gemacht wurde.
Das ist aber ein unwesentlicher Unterschied, denn topologisch
gesehen sind die entsprechenden Mengen äquivalent.
Deine Aufgabe bleibt natürlich, die ganzen Überlegungen
in eine mathematisch möglichst exakte Form zu bringen.
LG Al-Chw.
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