www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenAlgebraCardano
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Algebra" - Cardano
Cardano < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Cardano: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:15 So 14.09.2008
Autor: Riley

Aufgabe
Zu zeigen:
(i) Die Diskriminante verschwindet genau dann, wenn die Nullstellen nicht alle verschieden sind.
(ii)Sind die p,q [mm] \in \IR [/mm] und alle [mm] x_i [/mm] vrschieden, so gilt
(a)Diskriminante(p,q)>0 [mm] \gdw [/mm] eine NS ist reell, die anderen sind konjugiert komplex
(b) Diskriminante(p,q) <0 [mm] \gdw [/mm] alle drei NS sind reell.

Hallo,
ich hab noch eine Frage, bzgl den Cardonschen Formeln. Das weiß ich bislang:
Die dritte Wurzel sei [mm] \zeta:=e^{2 \pi i /3} [/mm] = - [mm] \frac{1}{2} [/mm] + [mm] \frac{1}{2}\sqrt{3} \sqrt{-1} \in [/mm] C.

Die Cardonschen Formeln drücken dann die Zahlen [mm] x_0, x_1, x_2 \in [/mm] C in
[mm] (x-x_0)(x-x_1)(x-x_2) [/mm] )= [mm] x^3 [/mm] + px + q [mm] \in [/mm] C[x] mit Hilfe von Zahlen p,q aus:

Diskriminante(p,q) := [mm] (\frac{q}{2})^2 [/mm] + [mm] (\frac{p}{3})^3 [/mm]

u:= [mm] (-\frac{q}{2} [/mm] + [mm] \sqrt{\mbox{Diskriminante}(p,q)})^{1/3} [/mm]

v:= [mm] (-\frac{q}{2} [/mm] - [mm] \sqrt{\mbox{Diskriminante}(p,q)})^{1/3}, [/mm]

[mm] x_0 [/mm] = u + v

[mm] x_1 [/mm] = [mm] \zeta [/mm] u + [mm] \zeta^2 [/mm] v

[mm] x_2 [/mm] = [mm] \zeta^2 [/mm] u + [mm] \zeta [/mm] v,

wobei u und v die Gleichungen [mm] uv=-\frac{p}{3} [/mm] und [mm] u^3+v^3=-q [/mm] erfüllen. Es ist also [mm] x_0=u+v [/mm] eine Lösung von [mm] x^3+px+q=0 [/mm] wegen [mm] (u+v)^3= u^3 [/mm] + 3u^2v + [mm] 3uv^2 [/mm] + [mm] v^3 [/mm] = -p(u+v) - q.

Nun kann man wohl verwenden, dass
[mm] \sqrt{\mbox{Diskriminante}(p,q)} [/mm] = - [mm] \frac{\sqrt{3}}{18} \sqrt{-1} (x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_1-x_2) [/mm]
(i) ist klar, da das Produkt Null wird, wenn einer der Faktoren Null wird und das ist der Fall wenn nicht alle NS verschieden sind.

(ii)
Wie kann man hier die Behauptungen (a) und (b) zeigen? Würde mich über ein paar Hinweise freuen, wie man das nachweisen kann...

Viele Grüße,
Riley



        
Bezug
Cardano: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:27 Mo 15.09.2008
Autor: PeterB

Das hat mit irgendwelchen expliziten Lösungsformeln nichts zu tun:

Für jedes Polynom mit reellen Koeffizienten gilt: nicht reelle Nullstellen tauchen nur in komplex konjugierten Paaren auf. Das liegt einfach daran, dass die komplexe Konjugation, das Polynom, und daher die Menge der Nullstellen fest lässt.

Nun zum Fall Grad 3: Wir haben drei Nullstellen. Also gibt es die zwei Fälle: alle Nullstellen reell, oder eine reelle und ein Paar nicht reelle komplex konjugierte Nullstellen.

Was ist nun die Diskriminante in diesen Fällen?

Fall 1: [mm] $x_1,x_2,x_2\in \mathbb{R} \Rightarrow (x_1-x_2) [/mm] , [mm] (x_1-x_3),(x_2-x_3)\in \mathbb{R} \Rightarrow (x_1-x_2)^2>0,...$ [/mm] also ist auch die Diskriminante größer als 0.

Fall 2: OBdA: [mm] $x_1$ [/mm] reell, [mm] $x_2=\overline{ x_3}$ [/mm]

Man sieht leicht, dass es eine reelle Zahl r gibt s.d. [mm] $x_2-x_3=\sqrt{-1} [/mm] r$. Außerdem gilt [mm] $x_1-x_2=\overline{x_1-x_3}$. [/mm]

Damit ist die Diskriminante:

[mm] $(x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2(x_2-x_3)^2=((x_1-x_2)(x_1-x_3))^2(-r^2)=((x_1-x_2)\overline{(x_1-x_2)})^2(-r^2)=|x_1-x_2|^2(-r^2)$ [/mm]

und das ist sicher kleiner als 0.

Bezug
                
Bezug
Cardano: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:25 Mo 15.09.2008
Autor: Riley

Hallo,
vielen Dank für deine Erklärungen! Jetzt wird mir das um einiges klarer...
Aber noch eine Rückfrage, für mich ist das leider nicht so offensichtlich, warum gibt es so eine Zahl r s.d.

> [mm]x_2-x_3=\sqrt{-1} r[/mm]

und warum gilt außerdem

> [mm]x_1-x_2=\overline{x_1-x_3}[/mm] ??

Muss man das ganze noch jeweils in die andere Richtung zeigen, oder ist das schon "genau dann wenn" ??

Viele Grüße & besten Dank,
Riley


Bezug
                        
Bezug
Cardano: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:28 Mo 15.09.2008
Autor: rainerS

Hallo Riley!

> Hallo,
>  vielen Dank für deine Erklärungen! Jetzt wird mir das um
> einiges klarer...
>  Aber noch eine Rückfrage, für mich ist das leider nicht so
> offensichtlich, warum gibt es so eine Zahl r s.d.
> > [mm]x_2-x_3=\sqrt{-1} r[/mm]

Nach Voraussetzung ist doch  [mm] $x_3 [/mm] = [mm] \overline{x_2}\$, [/mm] daher ist

  [mm] x_2-x_3 = x_2 - \overline{x_2} = i r [/mm]

rein imaginär, denn die Realteile heben sich weg.

> und warum gilt außerdem
> > [mm]x_1-x_2=\overline{x_1-x_3}[/mm] ??

[mm] $x_1$ [/mm] ist reell, und daher

[mm] \overline{x_1-x_3} = \overline{x_1} - \overline{x_3} = x_1 - \overline{x_3} = x_1 - x_2 [/mm]

> Muss man das ganze noch jeweils in die andere Richtung
> zeigen, oder ist das schon "genau dann wenn" ??

Wenn du beide Fälle gezeigt hast, hast du doch dein "genau dann wenn" (immer unter der Annahme, dass alle Nullstellen verschieden sind).

Viele Grüße
   Rainer


Bezug
                                
Bezug
Cardano: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:48 Mo 15.09.2008
Autor: Riley

Hallo Rainer,
vielen Dank für die Erklärungen, das mit den komplexen Zahlen hab ich nun verstanden [ok].
Allerdings bin ich gerade etwas verwirrt. Steht es in der Aufgabenstellung nicht gerade andersherum als nun bewiesen?
Also dass die Diskriminante(p,q) < 0 ist, wenn alle drei NS reell sind? Und in dem Beweis ist sie ja aber > 0 ????
Viele Grüße,
Riley

Bezug
                                        
Bezug
Cardano: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:57 Di 16.09.2008
Autor: PeterB

Hallo Riley,

das Vorzeichen der Diskriminante ist Definitionssache. Das Vorzeichen das ich verwende ist natürlicher, wenn man die Diskriminante als Produkt der Differenzen der Nullstellen definiert. Wenn man die Diskriminante dann aber für [mm] $X^3+pX+q$ [/mm] hinschreibt, ergibt sich [mm] $-4p^3-27q^2$ [/mm] weshalb man für den kubischen Fall gerne ein "$-$" davor schreibt. Tut mir leid, dass ich übersehen habe, dass ihr die andere Konvention verwendet.

Gruß
Peter

Bezug
                                                
Bezug
Cardano: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:21 Di 16.09.2008
Autor: Riley

Hallo Peter,
achso, ja danke - dann ists klar. Aber noch eine Frage, wie kann man eigentlich einsehen, dass das hier gilt, was wir die ganze Zeit benutzt haben:
[mm] \sqrt{Diskriminante(p,q)} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}(u^3 [/mm] - [mm] v^3) [/mm] = .... ???? = - [mm] \frac{\sqrt{3}}{18} \cdot \sqrt{-1} \cdot (x_0-x_1) (x_0-x_2) (x_1-x_2) [/mm]
Warum gilt das oder wie kann man das nachrechnen'?

Viele Grüße,
Riley

Bezug
                                                        
Bezug
Cardano: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:47 Mi 17.09.2008
Autor: PeterB

Die Details stehen in jedem Algebra Buch, ist aber ein bisschen technisch. Die Idee ist die Folgende:

Wenn [mm] $x_0,x_1,x_2$ [/mm] die Nullstellen von [mm] $x^3+px+q$ [/mm] sind, dann gilt:

[mm] $x_0+x_1+x_2=0$ [/mm]
[mm] $x_0x_1+x_0x_2+x_1x_2=p$ [/mm] und
[mm] $x_1x_2x_3=q$ [/mm]

einfach weil [mm] $x^3+px+q=(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)$. [/mm] Damit kann man dann den Wert von [mm] $(x_0-x_1)^2(x_0-x_2)^2(x_0-x_2)^2$ [/mm] ausrechnen. Allgemein gibt es einen Satz, der besagt, dass wenn man jedes symmetrische Polynom (hier [mm] $(x_0-x_1)^2(x_0-x_2)^2(x_0-x_2)^2$) [/mm] in $n$ (hier 3) Variablen (hier [mm] $x_0,x_1,x_2$) [/mm] mit den elementarsymetrischen Polynomen (hier die 3 polynome oben) ausrechnen kann. symmetrisch heißt das Polynom ändert sich nicht, wenn ich die Variablen vertausche (deshalb die Quadrate!). Die Elementar symmetrischen Polynome in $n$ Variablen sind sind [mm] $x_1+...+x_n$, $x_1x_2+x_1x_3+...+x_{n-1}x_n$ [/mm] usw. bis [mm] $x_1x_2...x_n$. [/mm]
Das heißt, ich kann das Quadrat der produkte der Differenzen der Nullstellen eines beliebigen Polynoms in einer Veränderlichen aus den Koeffizienten ausrechnen. Leider Sagt der Satz nur dass es geht, nicht wie, also muss man immer noch ein lineares Gleichungssystem lösen.

Gruß
Peter

Bezug
                                                                
Bezug
Cardano: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:24 Mi 17.09.2008
Autor: Riley

Hi Peter.
Ok, vielen besten Dank nochmal für deine Hilfe!
Viele Grüße,
Riley

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]