Cardanos x³-Formel < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
habe ein paar Fragen zur Formel von Cardano zum reellen Lösen von Gleichungen dritten Grades, wäre toll, wenn mir jemand (auch nur bei einzelnen Fragen) mir kurz helfen könnte!
Die allgemeine Gleichung dritten Grades
$$a [mm] \cdot x^3+b \cdot x^2+c \cdot [/mm] x+d=0$$
mit reellen Zahlen $a,b,c,d$ und [mm] $a\ne [/mm] 0$ kann durch Division mit $a$ und Substitution mit [mm] $x=u-\frac{b}{3a}$ [/mm] in die Form
[mm] $$u^3+p \cdot [/mm] u+q=0$$
gebracht werden, wobei
[mm] $\textbf{Das hab' ich auch geschafft. Aber warum wurde genau diese Substitution gewählt?}$
[/mm]
[mm] $$p=\frac {3ac-b^2}{3a^2}$$
[/mm]
und
[mm] $$q=\frac {2b^3}{27a^3} [/mm] - [mm] \frac {bc}{3a^2} [/mm] + [mm] \frac [/mm] {d}{a}$$
gilt.
Im folgenden sind die Lösungsformeln für $u$ angegeben, die entsprechenden Werte für $x$ ergeben sich durch die Rücksubstitution.
Es sei [mm] $D=\left(\frac {q}{2}\right)^2 [/mm] + [mm] \left(\frac {p}{3}\right)^3$ [/mm] die Diskriminante.
[mm] $\textbf{Wie kommt man auf diese Diskriminante?}$
[/mm]
[mm] $\textbf{D>0}$
[/mm]
Es gibt genau eine reelle Lösung, die durch
[mm] $$u_1 [/mm] = [mm] D_1 [/mm] + [mm] D_2,$$
[/mm]
[mm] $\textbf{Wieso diese Summe?}$
[/mm]
[mm] $$D_1 =\sqrt[3]{-\frac q2 + \sqrt{\left(\frac q2\right)^2 + \left(\frac p3\right)^3}}$$
[/mm]
[mm] $$D_2 [/mm] = [mm] \sqrt[3]{-\frac q2 - \sqrt{\left(\frac q2\right)^2 + \left(\frac p3\right)^3}}$$
[/mm]
gegeben ist.
[mm] $\textbf{D=0}$
[/mm]
In diesem Fall gibt es eine doppelte reelle Lösung
[mm] $$u_{1/2}=-\frac{3q}{2p}=\sqrt[3]{\frac q2}$$
[/mm]
und eine einfache Lösung
[mm] $$u_3 [/mm] = [mm] \frac{3q}p [/mm] = [mm] \sqrt[3]{-4q}.$$
[/mm]
Ist $p = q = 0$, so ist $u = 0$ die einzige (dreifache) Lösung.
[mm] $\textbf{Wie wurde hier diese Vereinfachung von }u_{1/2/3}\textbf{ erreicht?}$
[/mm]
[mm] $\textbf{D<0}$
[/mm]
Mithilfe der trigonometrischen Funktionen können die Wurzeln jedoch berechnet werden:
Unter Verwendung der Additionstheoreme lässt sich allgemein beweisen, dass
[mm] $$\cos^3\alpha=\frac{\cos 3\alpha+3\cos\alpha}{4}\qquad\qquad(1)$$
[/mm]
für jedes [mm] $\alpha$.
[/mm]
Schreibt man
[mm] $$0=u^3+p\cdot [/mm] u+q$$
mit Hilfe des Ansatzes [mm] $u=r\cdot\cos\alpha$ [/mm] um, ergibt sich
[mm] $\textbf{Weiß jemand, warum dieser Ansatz gewählt wurde?}$
[/mm]
[mm] $$0=r^3\cdot\cos^3\alpha+p\cdot r\cdot\cos\alpha+q$$
[/mm]
Setzt man hierin [mm] (1)\, [/mm] ein, entsteht
[mm] $$0=r^3\cdot\frac{\cos 3\alpha+3\cos\alpha}{4}+p\cdot r\cdot\cos\alpha+q$$
[/mm]
[mm] $$0=\frac{r^3}{4}\cos 3\alpha+\left(\frac{3}{4}r^2+p\right)\cdot r\cdot\cos\alpha+q$$
[/mm]
Wählt man nun [mm] $r=\sqrt{-\frac{4}{3} p}$, [/mm] verschwindet der Klammerausdruck, und es bleibt
[mm] $\textbf{Wie kann man sich das Recht nehmen, das so zu wählen?}$
[/mm]
[mm] $$0=\sqrt{-\frac{4}{27}p^3}\cdot\cos 3\alpha+q$$
[/mm]
Und somit
[mm] $$\cos 3\alpha=-\frac{q}{2}\cdot\sqrt{-\frac{27}{p^3}}$$
[/mm]
[mm] $$\alpha=\frac{1}{3}\arccos\left(-\frac{q}{2}\cdot\sqrt{-\frac{27}{p^3}}\right)+\frac{2}{3}k \pi$$
[/mm]
mit ganzen Zahlen $k$.
Einsetzen in $u = [mm] r\cdot\cos\alpha$ [/mm] liefert mit $k=-1,0,1$ die folgenden drei Lösungen:
[mm] $$u_2 [/mm] = [mm] -\,\sqrt{-\frac{4}{3}p}\cdot \cos\left(\frac{1}{3}\arccos\left(-\frac{q}{2}\cdot\sqrt{-\frac{27}{p^3}}\right) + \frac{\pi}{3}\right)$$
[/mm]
[mm] $$u_1 [/mm] = [mm] \,\sqrt{-\frac{4}{3}p}\cdot \cos\left(\frac{1}{3}\arccos\left(-\frac{q}{2}\cdot\sqrt{-\frac{27}{p^3}}\right)\right)$$
[/mm]
[mm] $$u_3 [/mm] = [mm] -\,\sqrt{-\frac{4}{3}p}\cdot \cos\left(\frac{1}{3}\arccos\left(-\frac{q}{2}\cdot\sqrt{-\frac{27}{p^3}}\right) - \frac{\pi}{3}\right)$$
[/mm]
[mm] $\textbf{Warum wurde }k\textbf{ hier genau derart gewählt?}$
[/mm]
[mm] $\textbf{Vielen Dank schon mal,}$
[/mm]
[mm] $\textbf{Stefan.}$
[/mm]
|
|
| |
|
Weiß denn niemand was?
Danke, Stefan.
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich möchte zu Deinen W-Fragen bzgl. der Cardano-Formel nur sehr allgemeines sagen, es ist so allgemein, daß es sich auf viele andere Beweise und "Angelegenheiten" der Mathematik auch zutrifft.
Warum macht man das gerade so?
Weil es funktioniert.
Wie kommt man darauf?
Eine Mischung aus Inspiration, Erfahrung und Beharrlichkeit.
Cardano hat das nicht an einem Tag ersonnen, und es sind seitdem viele Jahre vergangen, in denen die Sache optimiert werden konnte.
Was Du vorliegen hast, ist ein Ergebnis zur Verwendung. Wie meine Küchenmaschine, über deren Entwicklungsprozeß ich nichts weiß.
Cardano-Formeln und Küchenmaschine haben eins gemeinsam: erwiesenermaßen funktionieren sie.
Es war Cardano nicht der einzige, der sich mit der Lösung der kubischen Gleichungen beschäftigt hat,
in diesem ![[]](/images/popup.gif) Vortrag kannst Du ein bißchen etwas darüber lesen,
und falls Du gerne liest, noch ein Hinweis auf einen Roman, der gut zum Thema paßt: "Der Rechenmeister" v. D.Jörgensen, dessen Titelfigur Tartaglia ist.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:41 Sa 08.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
