Casino-Spiel < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:37 Fr 01.02.2013 | | Autor: | triad |
| Aufgabe | In einem Casino spielen Wir folgendes Spiel mit einer beliebig teilbaren Währung namens Euro. Wir
beginnen mit [mm] $X_0 [/mm] = 1000$ Euro und setzen in jeder Runde das gesamte Kapital ein. Es wird eine faire Münze geworfen. Wenn Kopf fällt, dann erhalten Wir das [mm] $\frac{5}{3}-fache$ [/mm] des Kapitals, wenn Zahl fällt dann bekommen Wir die Hälfte des Kapitals zurück. Sei [mm] X_n [/mm] das Kapital nach n Spielen, [mm] n\in\IN_0.
[/mm]
1. Drücke [mm] X_n [/mm] als Produkt von [mm] X_0 [/mm] und u.i.v. Zufallsvariablen [mm] Y_1,\dots,Y_n [/mm] aus, [mm] n\in\IN_0.
[/mm]
2. Berechne [mm] $E(X_n)$, n\in\IN_0. [/mm] |
Hallo.
Da n.V. alle [mm] Y_i [/mm] die gleiche Verteilung haben, habe ich für [mm] i=1,\dots,n [/mm] definiert [mm] Y_i=\begin{cases} \frac{5}{3}, & \mbox{bei Kopf in der i-ten Runde,} \\ \frac{1}{2}, & \mbox{bei Zahl in der i-ten Runde.} \end{cases}
[/mm]
Dann habe ich [mm] X_n [/mm] als das folgende Produkt ausgedrückt [mm] X_n=X_0*Y_1*\ldots*Y_n.
[/mm]
Da alle [mm] Y_i [/mm] auch unabhängig sind, habe ich dann für den Erwartungswert von [mm] X_n [/mm] die Vermutung [mm] E[X_n]=X_n [/mm] , d.h.
[mm] E[X_0*Y_1*\ldots*Y_n]=X_0*Y_1*\ldots*Y_n=X_0*\left(\frac{1}{2}\right)^j*\left(\frac{5}{3}\right)^{n-j} [/mm] für [mm] j\in\{0,\ldots,n\}.
[/mm]
Sieht soweit plausibel aus oder? 
gruß triad
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:06 Fr 01.02.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo triad,
dürfte ich erfahren, wo das Casino sich befindet?
Vielleicht am besten per PN... 
Ich wäre sogar bereit, pro Spiel eine Gebühr von 80 Euro zu zahlen.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:33 Fr 01.02.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Ich wäre sogar bereit, pro Spiel eine Gebühr von 80 Euro zu zahlen.
das solltest du aber nicht zu lange machen.
Dein Kapital geht nämlich für ausreichend langes Spielen gegen 0
Das ist nämlich ein schönes Beispiel für eine vermeintlich prima Spiel für den Spieler, was aber langfristig ziemlich in die Hose geht ^^
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:50 Fr 01.02.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Gono,
> > Ich wäre sogar bereit, pro Spiel eine Gebühr von 80 Euro
> zu zahlen.
>
> das solltest du aber nicht zu lange machen.
> Dein Kapital geht nämlich für ausreichend langes Spielen
> gegen 0
>
> Das ist nämlich ein schönes Beispiel für eine
> vermeintlich prima Spiel für den Spieler, was aber
> langfristig ziemlich in die Hose geht ^^
Endlich merkts jemand. Eine 8%-Zahlung wäre besser und würde gutgehen, wenn die 8% Gebühren auf den Einsatz erhoben werden. Werden Sie auf den Gewinn erhoben, gehts immer noch schief.
Bei einer Gebühr von 80€ fix sollte man besser mit einem deutlich höheren Betrag als 1000€ Ersteinsatz starten, um überhaupt eine Chance zu haben - und selbst dann besteht immer die Gefahr, bei ungünstigem Verlauf alles zu verlieren. Ich frage mich aber, bei welchem Ersteinsatz die Chance immerhin 50% beträgt, dass man langfristig nicht verliert. Das ist doch irgendwie mühsam zu berechnen.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:05 Fr 01.02.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Endlich merkts jemand. Eine 8%-Zahlung wäre besser und würde gutgehen
Was meinst du mit "8% Zahlung?
> Ich frage mich aber, bei welchem Ersteinsatz die Chance immerhin 50% beträgt, dass man langfristig nicht verliert.
Bei dieser Art zu spielen?
Gar nicht, egal wie hoch du startest, dein Kapital geht immer gegen Null.
Oder meinst du, wie man die Auszahlungen modifizieren muss, damit man 50:50 verliert oder gewinnt?
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:25 Sa 02.02.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Gono,
hm, da hab ich mich wohl nicht klar ausgedrückt.
> > Endlich merkts jemand. Eine 8%-Zahlung wäre besser und
> würde gutgehen
>
> Was meinst du mit "8% Zahlung?
Du zahlst 8% Bearbeitungs- oder Teilnahmegebühr für jedes Spiel. Ich hatte halt noch die Frage, auf welchen Betrag diese 8% erhoben werden.
> > Ich frage mich aber, bei welchem Ersteinsatz die Chance
> immerhin 50% beträgt, dass man langfristig nicht verliert.
>
> Bei dieser Art zu spielen?
> Gar nicht, egal wie hoch du startest, dein Kapital geht
> immer gegen Null.
Das stimmt m.E. nicht. Wenn ich mit einem Starteinsatz von 1 Mio€ starte, ist die Wahrscheinlichkeit zu verlieren, absolut vernachlässigbar (aber existent!).
> Oder meinst du, wie man die Auszahlungen modifizieren muss,
> damit man 50:50 verliert oder gewinnt?
Nein, das meine ich nicht. Ich meine dies: wenn eine pauschale Gebühr von 80€ pro Spiel zu entrichten ist, dann gibt es einen Starteinsatz, mit dem man mit einer Chance von genau 50:50 zumindestens überlebt. Bei höherem Einsatz wird man mit einer wachsenden Chance gewinnen. Wo ist diese Grenze bei der genannten Spielgebühr? Mir fällt da noch nicht einmal ein Ansatz ein.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:42 Sa 02.02.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Das stimmt m.E. nicht. Wenn ich mit einem Starteinsatz von
> 1 Mio€ starte, ist die Wahrscheinlichkeit zu verlieren,
> absolut vernachlässigbar (aber existent!).
Aber erst nach deiner Modifizierung der Aufgabe.
> Nein, das meine ich nicht. Ich meine dies: wenn eine
> pauschale Gebühr von 80€ pro Spiel zu entrichten ist,
> dann gibt es einen Starteinsatz, mit dem man mit einer
> Chance von genau 50:50 zumindestens überlebt. Bei höherem
> Einsatz wird man mit einer wachsenden Chance gewinnen. Wo
> ist diese Grenze bei der genannten Spielgebühr? Mir fällt
> da noch nicht einmal ein Ansatz ein.
Nunja, du kannst erstmal gucken, wie sich die Gewinnerwartung bei deinem Spiel für einen Einsatz E (in deinem Fall E=80) verhält.
Nehmen wir also der Einfachheit halber erstmal an, dass wir unendlich Kapital haben.
Dann ergibt sich bei deinem Spiel für ein Spiel eine Gewinnerwartung von:
[mm] $E*Y_i [/mm] - E = [mm] E*(Y_i [/mm] - 1)$, wobei die [mm] Y_i [/mm] die selben sind wie in der Aufgabe vorhin.
Der Gesamtgewinn nach 8 Spielen beläuft sich dann also auf:
[mm] $\summe_{k=1}^n E(Y_i [/mm] - 1) = [mm] E*\left(\left(\summe_{k=1}^n Y_i \right) - n\right) [/mm] = [mm] E*n\left(\left(\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^n Y_i \right) - 1\right)$
[/mm]
Und nach dem starken Gesetz der großen Zahlen gilt nun also:
[mm] $\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^n Y_i \to E[Y_1] [/mm] = [mm] \bruch{13}{12}$
[/mm]
Und damit ergibt sich, dass die Gewinnerwartung [mm] $\IP$-f.s. [/mm] gegen unendlich geht, falls man unendlich Kapital hat.
Oder anders: Kennst du jemanden, der dir ausreichend Geld leiht, kannst du es ihm später ja zurückzahlen ^^
Zu deiner Frage bei begrenztem Kapital: Es gibt da als Standardbeispiel für Stochastik I - Studenten die Aufgabe bei einer Wahl von 2 Kandidaten zu berechnen, dass einer immer vorne liegt (zur Einführung des Reflexionsprinzips).
Hier wäre das ja analog: Wie wahrscheinlich ist es, dass man immer mehr Spiele gewinnt, als verliert, wobei "gewinnen" einen Vorsprung hat von [mm] $\left\lfloor\bruch{\text{Kapital}}{\text{Einsatz}}\right\rfloor$
[/mm]
edit: Ich merke gerade, der letzte Satz stimmt nur für den Fall, dass man im Gewinnfall das Doppelte des Einsatzes zurückbekommt und gar nichts im Verlustfall.
Aber ich denke, das sollte man auch gewuppt bekommen.
Lieben Gruß,
Gono.
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Hallo Hallo
> In einem Casino spielen Wir folgendes Spiel mit einer
> beliebig teilbaren Währung namens Euro. Wir
> beginnen mit [mm]X_0 = 1000[/mm] Euro und setzen in jeder Runde das
> gesamte Kapital ein. Es wird eine faire Münze geworfen.
> Wenn Kopf fällt, dann erhalten Wir das [mm]\frac{5}{3}-fache[/mm]
> des Kapitals, wenn Zahl fällt dann bekommen Wir die
> Hälfte des Kapitals zurück. Sei [mm]X_n[/mm] das Kapital nach n
> Spielen, [mm]n\in\IN_0.[/mm]
>
> 1. Drücke [mm]X_n[/mm] als Produkt von [mm]X_0[/mm] und u.i.v.
> Zufallsvariablen [mm]Y_1,\dots,Y_n[/mm] aus, [mm]n\in\IN_0.[/mm]
>
> 2. Berechne [mm]E(X_n)[/mm], [mm]n\in\IN_0.[/mm]
> Hallo.
>
> Da n.V. alle [mm]Y_i[/mm] die gleiche Verteilung haben, habe ich
> für [mm]i=1,\dots,n[/mm] definiert [mm]Y_i=\begin{cases} \frac{5}{3}, & \mbox{bei Kopf in der i-ten Runde,} \\ \frac{1}{2}, & \mbox{bei Zahl in der i-ten Runde.} \end{cases}[/mm]
>
Genau richtig. Offenbar sind die Münzwürfe unabhängig
> Dann habe ich [mm]X_n[/mm] als das folgende Produkt ausgedrückt
> [mm]X_n=X_0*Y_1*\ldots*Y_n.[/mm]
>
Auch das stimmt
> Da alle [mm]Y_i[/mm] auch unabhängig sind, habe ich dann für den
> Erwartungswert von [mm]X_n[/mm] die Vermutung [mm]E[X_n]=X_n[/mm] , d.h.
>
Diese Gleichung kann nicht stimmen. Links steht eine Konstante, rechts steht eine Zufallsvariable, welche nicht konstant sein muss.
> [mm]E[X_0*Y_1*\ldots*Y_n]=X_0*Y_1*\ldots*Y_n=X_0*\left(\frac{1}{2}\right)^j*\left(\frac{5}{3}\right)^{n-j}[/mm]
> für [mm]j\in\{0,\ldots,n\}.[/mm]
>
Hier genau das wie oben: Links (der Erwartungswert) steht eine Konstante, recht steht ein Produkt von Zufallsvariablen.
Berechne mal den Erwartungswert der Zufallsvariable [mm] $Y_{j}$. [/mm] Was weißt du über den Erwartungswert vom Produkt unabhängiger Zufallsvariablen?
> Sieht soweit plausibel aus oder?
>
> gruß triad
PS: Wenn an dem Spieltisch noch was frei ist, dann nehm ich auch einen Platz.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Fr 01.02.2013 | | Autor: | triad |
hi
>
> Berechne mal den Erwartungswert der Zufallsvariable [mm]Y_{j}[/mm].
> Was weißt du über den Erwartungswert vom Produkt
> unabhängiger Zufallsvariablen?
>
ja, so einfach hab ich wiedermal nicht gedacht. Es gilt natürlich für unabh. ZV [mm] Y_j, [/mm] dass [mm] E[X_0*Y_1*\ldots*Y_n]=X_0*E[Y_1]*\ldots*E[Y_n], [/mm] wobei [mm] X_0=1000 [/mm] eine Konstante ist, die man herauszieht.
Nun sind die [mm] Y_j [/mm] alle identisch verteilt, haben also den gleichen Erwartungswert, d.h. für alle [mm] j=1,\ldots,n [/mm] ist [mm] E[Y_j]=\sum_{x\in\Omega'}x*P(Y_j=x)=\frac{1}{2}*\frac{1}{2}+\frac{5}{3}*\frac{1}{2}=\frac{13}{12}.
[/mm]
Womit dann [mm] E[X_n]=E[X_0\cdot{}Y_1\cdot{}\ldots\cdot{}Y_n]=X_0\cdot{}E[Y_1]\cdot{}\ldots\cdot{}E[Y_n]=1000*\left(\frac{13}{12}\right)^n. [/mm] Korrekt?
gruß triad
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Hallo,
ja das ist korrekt so.
Deshalb wollen reverend und ich da ja unbedingt hin. Und nie wieder weg (Essen lasse ich liefern, kann ich mir ja von meinem Gewinn leisten)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Sa 02.02.2013 | | Autor: | triad |
hallo, was bedeutet es denn, wenn ich den Logarithmus einer solchen ZV nehme? Also [mm] ln(Y_1)=?
[/mm]
Ich möchte nämlich davon den Erwartungswert E[ln [mm] Y_1] [/mm] bestimmen. Werden dann lediglich die Werte, die die ZV annehmen kann logarithmiert? Sprich ln [mm] Y_1=\begin{cases} ln\frac{5}{3}, & \mbox{...} \\ ln\frac{1}{2}, & \mbox{...} \end{cases}. [/mm] Und der (negative?!) Erwartungswert wäre dann [mm] \mu=E(ln Y_1)=\frac{1}{2}*ln\frac{1}{2}+\frac{5}{3}*ln\frac{1}{2}=-0.0912?
[/mm]
gruß triad
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Hiho,
> hallo, was bedeutet es denn, wenn ich den Logarithmus einer solchen ZV nehme? Also [mm]ln(Y_1)=?[/mm]
> Ich möchte nämlich davon den Erwartungswert E[ln [mm]Y_1][/mm]
> bestimmen. Werden dann lediglich die Werte, die die ZV
> annehmen kann logarithmiert? Sprich ln [mm]Y_1=\begin{cases} ln\frac{5}{3}, & \mbox{...} \\ ln\frac{1}{2}, & \mbox{...} \end{cases}.[/mm]
> Und der (negative?!) Erwartungswert wäre dann [mm]\mu=E(ln Y_1)=\frac{1}{2}*ln\frac{1}{2}+\frac{5}{3}*ln\frac{1}{2}=-0.0912?[/mm]
Hier hast du einen Fehler beim Aufschreiben gemacht.
Es muss heißen:
[mm] $\frac{1}{2}*\ln\frac{1}{2}+\frac{1}{2}*\ln\frac{5}{3}$
[/mm]
Und Ja, der herauskommende EW ist dann negativ.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:07 So 03.02.2013 | | Autor: | triad |
hi,
> Hiho,
>
> > hallo, was bedeutet es denn, wenn ich den Logarithmus einer
> solchen ZV nehme? Also [mm]ln(Y_1)=?[/mm]
> > Ich möchte nämlich davon den Erwartungswert E[ln [mm]Y_1][/mm]
> > bestimmen. Werden dann lediglich die Werte, die die ZV
> > annehmen kann logarithmiert? Sprich ln [mm]Y_1=\begin{cases} ln\frac{5}{3}, & \mbox{...} \\ ln\frac{1}{2}, & \mbox{...} \end{cases}.[/mm]
> > Und der (negative?!) Erwartungswert wäre dann [mm]\mu=E(ln Y_1)=\frac{1}{2}*ln\frac{1}{2}+\frac{5}{3}*ln\frac{1}{2}=-0.0912?[/mm]
>
> Hier hast du einen Fehler beim Aufschreiben gemacht.
> Es muss heißen:
> [mm]\frac{1}{2}*\ln\frac{1}{2}+\frac{1}{2}*\ln\frac{5}{3}[/mm]
>
> Und Ja, der herauskommende EW ist dann negativ.
>
> MFG,
> Gono.
Angenommen Var(ln [mm] Y_1)<\infty, [/mm] was folgt dann für [mm] \sum_{i=1}^{n}ln Y_i [/mm] für [mm] n\to\infty?
[/mm]
Zunächst mal ist das ja wegen ln(0.5)<0 eine Summe von nicht nur positiven, sondern auch negativen Zahlen, ist aber glaube ich nicht schlimm. Man soll nun mit dem SGGZ argumentieren und die Voraussetzungen prüfen. Die Voraussetzungen sind erfüllt, da [mm] Y_1,\ldots,Y_n [/mm] u.i.v. also auch die logarithmierten und wegen Var(ln [mm] Y_1)<\infty [/mm] ist auch E(ln [mm] Y_1^2)<\infty; [/mm] das gilt sogar für alle [mm] 1\le{}i\le{}n [/mm] wegen der u.i.v Eigenschaft.
Dann sagt das SGGZ, dass für jedes [mm] \varepsilon>0 [/mm] gilt [mm] \limes_{n\to\infty}P\left(\left|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}ln Y_i-E[ln Y_1]\right|\ge\varepsilon\right)=0.
[/mm]
Weiß nicht, ob ich das richtig interpretiert habe.
gruß triad
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Hiho,
ist nun die Frage, was du mit SGGZ meinst.
Es gibt da ja zwei....
> Dann sagt das SGGZ, dass für jedes [mm]\varepsilon>0[/mm] gilt
[mm]\limes_{n\to\infty}P\left(\left|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}ln Y_i-E[ln Y_1]\right|\ge\varepsilon\right)=0.[/mm]
Ja, nimm mal das andere der beiden, das bringt dir hier mehr.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 So 03.02.2013 | | Autor: | triad |
> Hiho,
>
> ist nun die Frage, was du mit SGGZ meinst.
> Es gibt da ja zwei....
>
> > Dann sagt das SGGZ, dass für jedes [mm]\varepsilon>0[/mm] gilt
> [mm]\limes_{n\to\infty}P\left(\left|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}ln Y_i-E[ln Y_1]\right|\ge\varepsilon\right)=0.[/mm]
>
> Ja, nimm mal das andere der beiden, das bringt dir hier
> mehr.
>
> MFG,
> Gono.
Ich wusste selber nicht welches SGGZ gemeint war. Das obige ist das "normale" und Du meinst dann das zweite, was wir hatten, das SGGZ von Bernoulli, nehme ich an.
Ok, das ist ja fast dasselbe, funktioniert aber auch, denn auch hier sind die Voraussetzungen erfüllt:
Es gilt [mm] lnY_i\sim\operatorname{Bin}(1,p) [/mm] für [mm] 1\le{}i\le{}n [/mm] und [mm] p=\frac{1}{2}\in[0,1], [/mm] außerdem sind [mm] lnY_1,\ldots,lnY_n [/mm] u.i.v., insbesondere also unabhängig.
Dann gilt also [mm] P\left(\left|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}lnY_i-p\right|\ge\varepsilon\right)\le\frac{1}{4n\varepsilon^2} [/mm] und der Grenzwert ist wieder Null.
Allerdings hat man hier gar nicht verwendet, dass [mm] \sigma^2=Var(lnY_1)<\infty, [/mm] oder? Das steht aber in der Aufgabenstellung...
gruß triad
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Hiho,
> Ich wusste selber nicht welches SGGZ gemeint war. Das obige ist das "normale" und Du meinst dann das zweite, was wir hatten, das SGGZ von Bernoulli, nehme ich an.
Nein!
Es gibt kein "normales".
Halten wir fest: Es gibt das SCHWACHE Gesetz der großen Zahlen, das ist das, was du hingeschrieben hattest.
Es gibt aber auch das STARKE Gesetz der großen Zahlen.
Und das ist das, was du hier brauchst um eine Aussage über [mm] $\bruch{1}{n}\summe\ln(Y_i)$ [/mm] machen zu können.
Wobei natürlich die Frage auch schlecht gestellt ist.
Wenn jemand fragt, was für eine Folge [mm] X_n [/mm] für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gilt, muss immer dabei stehen, in welchem Sinne.
In WKeit? [mm] \IP [/mm] - f.s. ? In Verteilung?
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:04 Mo 04.02.2013 | | Autor: | triad |
> Hiho,
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> > Ich wusste selber nicht welches SGGZ gemeint war. Das obige
> ist das "normale" und Du meinst dann das zweite, was wir
> hatten, das SGGZ von Bernoulli, nehme ich an.
>
> Nein!
> Es gibt kein "normales".
> Halten wir fest: Es gibt das SCHWACHE Gesetz der großen
> Zahlen, das ist das, was du hingeschrieben hattest.
> Es gibt aber auch das STARKE Gesetz der großen Zahlen.
> Und das ist das, was du hier brauchst um eine Aussage
> über [mm]\bruch{1}{n}\summe\ln(Y_i)[/mm] machen zu können.
>
> Wobei natürlich die Frage auch schlecht gestellt ist.
> Wenn jemand fragt, was für eine Folge [mm]X_n[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm]
> gilt, muss immer dabei stehen, in welchem Sinne.
> In WKeit? [mm]\IP[/mm] - f.s. ? In Verteilung?
>
> MFG,
> Gono.
>
Hallo nochmal. Nun wir hatten bisher aber nur das schwache Gesetz großer Zahlen und das SGGZ von Bernoulli als Korollar. Deshalb denke ich das wir ersteres benutzen sollen, da Bernoulli wegen den Voraussetzungen nicht wirklich passt, wie in meinem letzten Post schon erwähnt. Es stünde sicherlich auch in der Aufgabe, wenn wir Bernoulli verwenden sollten. In welchem Sinne das gemeint ist steht auch nicht dabei, siehe meinen anderen Post.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Mo 04.02.2013 | | Autor: | triad |
> Hiho,
>
> > Ich wusste selber nicht welches SGGZ gemeint war. Das obige
> ist das "normale" und Du meinst dann das zweite, was wir
> hatten, das SGGZ von Bernoulli, nehme ich an.
>
> Nein!
> Es gibt kein "normales".
> Halten wir fest: Es gibt das SCHWACHE Gesetz der großen
> Zahlen, das ist das, was du hingeschrieben hattest.
> Es gibt aber auch das STARKE Gesetz der großen Zahlen.
> Und das ist das, was du hier brauchst um eine Aussage
> über [mm]\bruch{1}{n}\summe\ln(Y_i)[/mm] machen zu können.
>
> Wobei natürlich die Frage auch schlecht gestellt ist.
> Wenn jemand fragt, was für eine Folge [mm]X_n[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm]
> gilt, muss immer dabei stehen, in welchem Sinne.
> In WKeit? [mm]\IP[/mm] - f.s. ? In Verteilung?
>
> MFG,
> Gono.
>
Hi, also hier nochmal die vollständige Aufgabenstellung (sorry, dass ich sie erst jetzt richtig aufschreibe):
Berechne [mm] \mu=E(log\,Y_1). [/mm] Treff e eine Aussage über [mm] \sum_{i=1}^{n}log\,Y_i [/mm] für [mm] n\to\infty [/mm] mithilfe des SGGZ (Begründung !) unter Verwendung, dass [mm] \sigma^2=Var(log\,Y_1)<\infty [/mm] (nicht ausrechnen).
Also war das ok, was ich oben schrieb, kann man davon etwas verweden? Es wurde halt als Tipp erwähnt, dass man die Voraussetzungen des Schwachen GGZ überprüfen soll. Das habe ich oben versucht und den Satz dann angewandt, ich weiß halt nicht, ob ich das richtig interpretiert habe. Nochmal das von oben:
Das SchwacheGGZ sagt, dass gilt [mm] P\left(\left|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}log\,Y_i-E[log\,Y_1]\right|\ge\varepsilon\right)\le\frac{Var(log\,Y_1)}{n*\varepsilon^2}\overset{n\to\infty}{\to{}}0, [/mm] da [mm] Var(log\,Y_1) [/mm] endlich ist.
Und was ich mich auch noch frage: Warum sollte man vorher [mm] E(log\,Y_1) [/mm] ausrechnen, wenn man [mm] Var(log\,Y_1) [/mm] nicht ausrechnen soll?
gruß triad
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Hiho,
> Das SchwacheGGZ sagt, dass gilt [mm]P\left(\left|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}log\,Y_i-E[log\,Y_1]\right|\ge\varepsilon\right)\le\frac{Var(log\,Y_1)}{n*\varepsilon^2}\overset{n\to\infty}{\to{}}0,[/mm] da [mm]Var(log\,Y_1)[/mm] endlich ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und was ich mich auch noch frage: Warum sollte man vorher [mm]E(log\,Y_1)[/mm] ausrechnen, wenn man [mm]Var(log\,Y_1)[/mm] nicht
ausrechnen soll?
Das ist jetzt durchaus relevant.
Du hast ja bisher noch gar keine Aussage darüber getroffen, was mit [mm] $\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^n \ln(Y_i)$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$ [/mm] passiert
Fass deine Erkenntnisse doch mal zusammen und gib direkt an, wogegen [mm] $\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^n \ln(Y_i)$ [/mm] nun konvergiert und in welcher Weise.
Gruß,
Gono.
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:02 Mo 04.02.2013 | | Autor: | triad |
> Hiho,
>
> > Das SchwacheGGZ sagt, dass gilt
> [mm]P\left(\left|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}log\,Y_i-E[log\,Y_1]\right|\ge\varepsilon\right)\le\frac{Var(log\,Y_1)}{n*\varepsilon^2}\overset{n\to\infty}{\to{}}0,[/mm]
> da [mm]Var(log\,Y_1)[/mm] endlich ist.
>
>
>
> > Und was ich mich auch noch frage: Warum sollte man vorher
> [mm]E(log\,Y_1)[/mm] ausrechnen, wenn man [mm]Var(log\,Y_1)[/mm] nicht
> ausrechnen soll?
>
> Das ist jetzt durchaus relevant.
> Du hast ja bisher noch gar keine Aussage darüber
> getroffen, was mit [mm]\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^n \ln(Y_i)[/mm] für
> [mm]n\to\infty[/mm] passiert
>
> Fass deine Erkenntnisse doch mal zusammen und gib direkt
> an, wogegen [mm]\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^n \ln(Y_i)[/mm] nun
> konvergiert und in welcher Weise.
>
> Gruß,
> Gono.
Ah, natürlch. Das bedeutet doch gerade, dass [mm] \frac{1}{n}\summe_{i=1}^n \ln(Y_i) [/mm] gegen [mm] E[\ln(Y_1)]=-0.09116... [/mm] konvergiert. Und wie meinst du das in welcher Weise dies konvergiert? Das mit in WKeit bzw. in Verteilung, haben wir so nie explizit aufgeschrieben.
gruß triad
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mi 06.02.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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