Cauchy-Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich sitze gerade an meiner Facharbeit und bekomme echt Probleme.
Ich schreibe über die Cauchy-Folgen und brauche dazu am besten eine möglichst leichte Definition und wenn es geht ein beispiel.
Ich hab nur noch eine Woche zeit, also bitte helft mir....
vielen dank
love.freya
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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ja natürlich würde es mir helfen, aber leider geh ich noch in die 12.te klasse und kann viele definitionen davon noch nicht verstehen.
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Vielen Dank für deine Antwort, sie hilft mir schon sehr weiter.
Hättest du vllt noch ein beispiel für mich? soetwas wie eine beweisführung?
Ich würde diesen beweis natürlich nicht für meine facharbeit nutzen, aber vllt. könnte ich ihn ja zur erklärung für mich selbst benutzen und so dann bei einer anderen folge die knvergenz beweisen ^^
lg
love.freya
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:15 So 19.03.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo,
schau dir doch erstmal in Ruhe die Definitionen und Erklärungen an. Dann suche noch nach weiteren Quellen und versuche diese zu verstehen. Du kannst dich ja auch mal selbst an einer Folge versuchen und verstehen, ob es sich um eine Cauchyfolge handelt oder nicht.
Ganz wichtig zu verstehen ist der Unterschied zwischen einer Cauchyfolge und einer konvergenten Folge.
Wichtig ist: Jede Cauchyfolge, die Werte in den reellen Zahlen hat, hat auch einen Grenzwert in den reellen Zahlen.
Aber: Nicht jede Cauchyfolge, die Werte in den rationalen Zahlen hat, hat auch einen Grenzwert in den rationalen Zahlen.
Viele Grüße
Astrid
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Hey,
also ich befasse mich ca. seit 3wochen mit den folgen, konvergenz und cauchy,...
mein einziges problem ist nun nur noch, wie ich beweisen kann, dass eine Folge eine Cauchy-Folge ist.
Ich wollte es mal anhand der Folge an=1/n² ausprobieren, doch leider kam ich nicht sehr weit:(ich hab grad keinen formeleditor, hoffe du kannst es trotzdem lesen)
[an-am]=[1/n²-1/m²]<e
=m²/m²n²-n²/m²n²<e
m²-n²<em²n²
m²<em²n²+n²
Ist das so richtig?
Ich kann leider noch keine Beweise führen, also ich würde nun chließen, dass es eine Cauchy-Folge ist, da n>m.
Bitte hilf mir
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Hallo,
also ich glaube, du willst zeigen, dass jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge ist. Dieser Beweis ist standard und steht in jedem Analysis-Buch, Forster oder Königsberger würde ich dir empfenhlen. Findest du aber sicher auch in jedem Analysisskript Analysis 1, wenn du das geschickt googelst. Versuche aber auch das Ganze zu verstehen. Du versuchst an einem Beispiel zu zeigen, dass das oben stimmt. Ein Beispiel reicht aber nicht, da es unendlich viele konvergente Folgen gibt. Nimm z.B. allein Folgen der Form
[mm] a_{n}=\bruch{1}{n^{k}} [/mm] mit [mm] k\in\IN
[/mm]
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ne, ich wollte nicht beweisen,ob jede cauchy-folge konvergent ist, sondern einfach die konvergenz der folge 1/n² beweisen. ich brauche dieses lkeichte beispiel für meine facharbeit.
kannst du mir dabei helfen??
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Hallo,
gut die Konvergenz zu zeigen, ist einfach. Du versuchst dort aber, glaube ich, zu zeigen, dass das eine Cauchy-Folge ist. Dein Beweis ist aber nicht schlüssig.
Ich würde es so machen:
1. Betrachte die Konvergenzbedingung
[mm] |a_{n}-g|<\varepsilon
[/mm]
(Ich lasse den formalen Kram mal weg... [mm] \forall\varepsilon>0 [/mm] ...!)
2. [mm] |\bruch{1}{n^{2}}-0|<\varepsilon
[/mm]
3. Nach n umstellen und das Archimedes-Axiom anwenden.
Ich hoffe, du packst das soweit. Ansonsten kannst du gerne nachfragen. Wenn du zeigen möchtest, dass es eine C.F. ist, dann muss man aber anders vorgehen oder du folgerst das mit den Kenntnissen aus meinem Beitrag davor.
Viele Grüße
Daniel
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vielen dank für deine hilfe, doch leider hab ich halt gar keine ahnung von dem kram
na ja so gut wie keine,...
ich fang am besten nochmal von vorne an.
ich schreibe zur zeit meine facharbeit und cauchy und die folgen
den ersten teil, erklärung der grundlagen hab ich schon fertig und nun bin ich bei cauchy angelangt.
ich hab bereits alles erklärt, doch leider fehlt mir noch nen beispiel. ich wollte wohl die folge 1/n² nehmen, aber meine kenntnisse dafür reichen wohl nicht ganz aus. mir würde wahrscheinlich ein beispiel helfen.
lg
katrin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:57 So 19.03.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo Katrin,
möchtest du denn nun zeigen, dass die Folge konvergent ist oder dass die Folge eine Cauchyfolge ist?
Und vor allem: Was genau hast du bisher an Grundlagen? Damit wir darauf zurückgreifen können... (Falls du z.B. geschrieben hast, dass jede konvergente Folge auch eine Cauchyfolge ist, dann reicht es, die Konvergenz zu zeigen.) Was ist also der Schwerpunkt deiner Arbeit? Cauchy als Mathematiker oder die Cauchyfolgen?
Viele Grüße
Astrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 So 19.03.2006 | | Autor: | love.freya |
also mein hauptthema sind die cauchyfolgen, als grundlagen hab ich halt die begriffserklärungen von folgen und reihen, konvergenz und monotonie und nun schon bisschen zu den cauchy-folgen. da hab ich angefangen mit dem [an-am]<e und werde später noch darauf eingehen, dass jede konvergente folge eine cauchy folge ist, dafür wollte ich aber wohl den beweis aus dem forster lehrbuch nehmen.+
vielen dank für euer interesse
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Hallo,
dann verweist du an der Stelle auf den Beweis später. Man macht das mit dem Beispiel so:
Wir zeigen [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n^{2}}=0.
[/mm]
Sei [mm] \varepsilon>0 [/mm] vorgegeben. Nach dem Archimedischen Axiom gibt es dann ein [mm] N\in\IN [/mm] mit [mm] N>\wurzel{\bruch{1}{\varepsilon}} [/mm] (einfach umstellen!).
Damit ist [mm] |\bruch{1}{n^{2}}-0|=|\bruch{1}{n^{2}}|<\varepsilon. [/mm] q.e.d.
Das geht übrigens allgemein mit allen Folge [mm] \bruch{1}{n^{k}}, k\in\IN.
[/mm]
Viele Grüße
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:41 So 19.03.2006 | | Autor: | love.freya |
vielen dank, ich glaube ich komm so ein wenig weiter mit meiner facharbeit...katrin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 So 19.03.2006 | | Autor: | andreas |
hi
man kann auch direkt zeigen, dass [mm] $a_n [/mm] = [mm] \frac{1}{n^2}$ [/mm] eine cauchy-folge ist, was vielleicht dann an dieser stelle ein passenderes beispiel wäre (?). dazu braucht man einfach nur ein paar abschätzungen, die man aber ohne probleme mit schulstoff verstehen kann.
man muss also zeigen, dass es zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein $N [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] gibt, so dass für alle $n, m > N$ der abstand der folgenglieder [mm] $a_m$ [/mm] und [mm] $a_n$ [/mm] kleiner als [mm] $\varepsilon$ [/mm] ist, dass also gilt [mm] $\left| a_m - a_n \right| [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
man kann annehmen, dass [mm] $n\geq [/mm] m$ ist, sonst vertausche man einfach die beiden indices. dann gilt
[m] |a_m - a_n| = \left| \frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2} \right| = \left| \frac{n^2 - m^2}{m^2n^2} \right| = \left| \frac{(n - m)(n + m)}{m^2n^2} \right| = \frac{(n - m)(n + m)}{m^2n^2} [/m],
wobei hier einfach alles auf einen bruchstrich gebracht wurde und danach die dritte binomische formel angewandt wurde. die betragsstriche dürfen weggelassen werden, da sowohl zähler (da $n [mm] \geq [/mm] m$ und $m, n > 0$), als auch nenner nicht negativ sind, der ganze bruch also größer oder gleich null ist. nun weiß man aber auch, dass $n - m [mm] \leq [/mm] n$ und $n + m [mm] \leq [/mm] n + n = 2n$, wieder mit der begründung, dass $n [mm] \geq [/mm] m > 0$. setzt man das im letzten bruch in obiger zeile ein, so wird der zähler also höchstens größer, der ganze bruch somit auch, es gilt also
[m] |a_m - a_n| = \frac{(n - m)(n + m)}{m^2n^2} \leq \frac{n (2n)}{n^2m^2} = \frac{2}{m^2} [/m]
wenn man nun erreicht, dass [mm] $\frac{2}{m^2} [/mm] < [mm] \varepsilon$, [/mm] dann ist auch automatisch [mm] $|a_m [/mm] - [mm] a_n| [/mm] < [mm] \varepsilon$, [/mm] was direkt aus der abschätzung in der letzten zeile folgt. dies ist aber nun leicht zu lösen, denn aus [mm] $\frac{2}{m^2} [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] folgt durch einfaches umstellen $m > [mm] \sqrt{\frac{2}{\varepsilon}}$. [/mm] wählt man nun $N [mm] \geq \sqrt{\frac{2}{\varepsilon}}$, [/mm] so gilt also für $m, n > N$, dass [mm] $|a_m [/mm] - [mm] a_n| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] und man hat direkt gezeigt, dass [mm] $a_n [/mm] = [mm] \frac{1}{n^2}$ [/mm] eine cauchy-folge ist ohne den umweg über die konvergenz der folge.
die rechnung sieht zwar etwas schwieriger aus, ist aber vielleicht auch im gewissen maße instruktiv, wie man für andere folgen die cauchy-eigenschft direkt zeigen kann.
ich hoffe die rechenschritte sind halbwegs nachbvollziehbar, sonst frage einfach nach.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:46 Mo 20.03.2006 | | Autor: | andreas |
hi
das ganze geht noch einfacher: man kann für $n [mm] \geq [/mm] m$ sogar direkt
[m] |a_m - a_n| = \left| \frac{n^2 - m^2}{n^2m^2} \right| = \frac{n^2 - m^2}{n^2m^2} \leq \frac{n^2 }{n^2m^2} = \frac{1}{m^2} [/m]
abschätzen, da $m > 0$ und damit auch [mm] $m^2 [/mm] > 0$. damit erhält man die selbe konstante $N$ wie mathmetzsch bei seinem konvergenzbeweis.
grüße
andreas
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![[]](/images/popup.gif){kind=small}
http://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Folge
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
) nichts anderes als [mm] $|x_m-x_n|$, [/mm] also der Abstand zwischen den Folgegliedern [mm] x_m [/mm] und [mm] x_n.
[/mm]