Cauchy-Folge bzgl. L^1Halbnorm < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:55 Fr 26.11.2010 | | Autor: | mathiko |
| Aufgabe | Betrachte die Folge stetiger Funktionen [mm] f_n:[-1,1]-> \IR, [/mm] gegeben durch
[mm] f_n(x)=0 [/mm] für x [mm] \in [/mm] [-1,0], =nx für x [mm] \in [/mm] [0,1/n], =1 für x [mm] \in [/mm] [1/n,1]
Zeige: a) [mm] f_n [/mm] ist eine Cauchy-Folge bzgl. der [mm] L^1-Halbnorm.
[/mm]
b) Gebe einen Grenzwert bzgl. der [mm] L^1-Halbnorm [/mm] an.
c) [mm] f_n [/mm] konvergiert nicht gegen eine stetige Funktion bzgl. der [mm] L^1-Halbnorm. [/mm] |
Hallo alle miteinander!!!
Bei obiger Aufgabe bin ich bis jetzt noch nicht alleine auf einen möglichen Anfang gekommen. Deshalb bitte ich euch um Hilfe.
Bisher habe ich mir die Definitionen der Cauchy-Folge und der [mm] L^1-Hambnorm [/mm] und, was für diese gilt, angesehen.
Zudem habe ich mir den Graph aufgezeichnet.
Also eine Folge [mm] (f_n) [/mm] von Funktionen auf dem [mm] \IR^n [/mm] heißt [mm] L^1-Cauchy-Folge, [/mm] wenn es zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 einen Index N gibt so, dass [mm] ||f_k-f_m|| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] für alle k,m [mm] \ge [/mm] N.
Die [mm] L^1-Halbnorm [/mm] einer Funktion f: [mm] \IR^n [/mm] -> [mm] \IC \cup {\inf}
[/mm]
ist das Infimum der Hüllreihen-Inhalte zu f:
[mm] ||f||_1= inf{I(\Phi)| \Phi ist Hüllreihe zu f}.
[/mm]
Naja und für diese gelten noch ein paar Rechenregeln, die mir allerdings nicht weiterhelfen...
Und für b): Jede [mm] L^1-Cauchyfolge (f_k) [/mm] integrierbarer Funktionen auf [mm] \IR^n [/mm] besitzt einen [mm] L^1-Grenzwert [/mm] f [mm] \in L^1(\IR^n); [/mm] für diesen [mm] gilt:\integral_{}^{}{f(x) dx}= \limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{}^{}{f_n(x) dx}
[/mm]
Mir fehlen irgendwie die Zusammenhänge...
Kann mir bitte bitte jemand helfen?
Viele Grüße von mathiko
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:55 Fr 26.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Betrachte die Folge stetiger Funktionen [mm]f_n:[-1,1]-> \IR,[/mm]
> gegeben durch
>
> [mm]f_n(x)=0[/mm] für [mm]x\in [-1,0][/mm], =nx für [mm]x\in [0,1/n][/mm], =1 für [mm]x\in [1/n,1][/mm]
> Zeige: a) [mm]f_n[/mm] ist eine Cauchy-Folge bzgl. der
> [mm]L^1[/mm]-Halbnorm.
> b) Gebe einen Grenzwert bzgl. der [mm]L^1[/mm]-Halbnorm an.
> c) [mm]f_n[/mm] konvergiert nicht gegen eine stetige Funktion bzgl.
> der [mm]L^1[/mm]-Halbnorm.
>
>
> Hallo alle miteinander!!!
>
> Bei obiger Aufgabe bin ich bis jetzt noch nicht alleine auf
> einen möglichen Anfang gekommen. Deshalb bitte ich euch um
> Hilfe.
>
> Bisher habe ich mir die Definitionen der Cauchy-Folge und
> der [mm]L^1[/mm]-Hambnorm und, was für diese gilt, angesehen.
> Zudem habe ich mir den Graph aufgezeichnet.
>
> Also eine Folge [mm](f_n)[/mm] von Funktionen auf dem [mm]\IR^n[/mm] heißt
> [mm]L^1[/mm]-Cauchy-Folge, wenn es zu jedem [mm]\epsilon > 0[/mm] einen Index
> N gibt so, dass [mm]||f_k-f_m||<\epsilon[/mm] für alle[mm] k,m \ge[/mm]
> N.
> Die [mm]L^1[/mm]-Halbnorm einer Funktion f: [mm]\IR^n[\to\IC \cup {\inf}[/mm]
>
> ist das Infimum der Hüllreihen-Inhalte zu f:
> [mm]||f||_1= \inf\{I(\Phi)| \Phi\text{ ist Hüllreihe zu f}\}.[/mm]
> Naja und
> für diese gelten noch ein paar Rechenregeln, die mir
> allerdings nicht weiterhelfen...
> Und für b): Jede [mm]L^1[/mm]-Cauchyfolge [mm](f_k)[/mm] integrierbarer
> Funktionen auf [mm]\IR^n[/mm] besitzt einen [mm]L^1[/mm]-Grenzwert [mm]f \in L^1(\IR^n);[/mm]
> für diesen gilt:[mm]\integral_{}^{}{f(x) dx}= \limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{}^{}{f_n(x) dx}[/mm]
Habt ihr die [mm] $\mathcal{L}^1$-Halbnorm [/mm] nur über Hüllreihen definiert? Denn hier wäre die alternative Definition über das Integral
[mm] \|f\|_1 = \integral_{-1}^{1} |f(x)| dx [/mm]
sehr viel einfacher. Damit kannst du die Norm
[mm] \|f_n-f_m\|_1 = \integral_{-1}^{1} |f_n(x) -f_m(x)| dx [/mm]
unmittelbar ausrechnen und damit sofort nachweisen, dass es eine Cauchyfolge ist.
Zu Teil b: aus dem Grafen müsstest du eigentlich eine Vermutung für einen Grenzwert abgeben können. Ist diese Grenzfunktion stetig?
Zu Teil c: Alle anderen Grenzwerte sind fast überall identisch mit dem Grenzwert aus Teil b. Warum ist es nicht möglich, eine stetige Grenzfunktion zu basteln?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Sa 27.11.2010 | | Autor: | mathiko |
Hallo rainerS!
Erstmal vielen Dank für deine Mühe!!!!!!!
Zua): Ja, wir haben die [mm] L^1-Halbnorm [/mm] auch so definiert.
[mm] ||f_n-f_m||_1=\integral_{-1}^{1}{|f_n-f_m| dx}
[/mm]
Im Intervall [-1,0] und (1/n,1] sind ja [mm] f_n [/mm] und [mm] f_m [/mm] gleich und das Integral und somit die Halbnorm sind Null.
Dann bleibt noch:
[mm] \integral_{0}{1/n}{|nx-mx| dx}=|1/2*n*x^2-1/2*m*x^2|in [/mm] den Grenzen 0 bis 1/n [mm] =|\bruch{1}{2n}-\bruch{m}{2n^2}|=\bruch{n-m}{2n^2}\le \bruch{n}{2n^2}=\bruch{1}{2n}< \epsilon
[/mm]
Dann hätte ich ja ein [mm] \epsilon [/mm] >0 für das [mm] ||f_n-f_m||_1 [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] gilt.
Kann ich das so machen?
Zu b): Also aus dem Graphen sehe ich, da das Intervall [0,1/n] immer schmaler wird, dass die Grenzfunktion g wohl Folgende ist:
g= 0, für x [mm] \in [/mm] [-1,0], =1, für x [mm] \in [/mm] (0,1]
Und diese ist im Punkt 0 nicht stetig, wegen des Sprungs von 0 auf 1.
Ist das soweit richtig?
Muss ich das noch "mathematischer" ausdrücken?
Und noch eine Frage dazu:
Du hast bei c) geschrieben: "alle anderen Grenzwerte". Ich stelle mir da Funktionen vor, die zum Beispiel an einem Punkt nicht 0 oder 1,sondern 2,3 oder ähnliches sind. Ist das richtig?
Zu c):Es gibt keine stetige Grenzfunktion, weil es immer diesen Sprung von 0 auf 1 an der Stelle x=0 gibt, glaube ich, oder?
ich probiere mal das Ganze mathematisch auszudrücken:
Eine Funktion f: [mm] \IR^n->\IR^m [/mm] heißt ja in einem Punkt [mm] x_0 [/mm] stetig, wenn dort [mm] \limes_{x\rightarrow x_0} [/mm] f(x) = [mm] f(x_0).
[/mm]
Hier wäre [mm] x_0=0 [/mm] mit [mm] f(x_0)=0 [/mm] und x=1/n mit f(x)=nx
Der Grenzwert von f(x) für n-> [mm] \infty [/mm] ist aber n*1/n=1 und nicht 0.
Aber habe ich es damit für alle möglichen Grenzfunktionen gezeigt?
Viele Grüße von mathiko
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Sa 27.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo mathiko!
> Hallo rainerS!
> Erstmal vielen Dank für deine Mühe!!!!!!!
>
> Zua): Ja, wir haben die [mm]L^1-Halbnorm[/mm] auch so definiert.
> [mm]||f_n-f_m||_1=\integral_{-1}^{1}{|f_n-f_m| dx}[/mm]
> Im
> Intervall [-1,0] und (1/n,1] sind ja [mm]f_n[/mm] und [mm]f_m[/mm] gleich und
> das Integral und somit die Halbnorm sind Null.
> Dann bleibt noch:
> [mm]\integral_{0}{1/n}{|nx-mx| dx}=|1/2*n*x^2-1/2*m*x^2|in[/mm] den
> Grenzen 0 bis 1/n
> [mm]=|\bruch{1}{2n}-\bruch{m}{2n^2}|=\bruch{n-m}{2n^2}\le \bruch{n}{2n^2}=\bruch{1}{2n}< \epsilon[/mm]
Ich habe das nicht nachgerechnet, aber hast du berücksichtigt, dass sich der Verlauf von [mm] $f_n-f_m$ [/mm] bei 0, 1/m und 1/n ändert?
> Dann hätte ich ja ein [mm]\epsilon[/mm] >0 für das [mm]||f_n-f_m||_1[/mm] <
> [mm]\epsilon[/mm] gilt.
> Kann ich das so machen?
Ja.
>
> Zu b): Also aus dem Graphen sehe ich, da das Intervall
> [0,1/n] immer schmaler wird, dass die Grenzfunktion g wohl
> Folgende ist:
> g= 0, für x [mm]\in[/mm] [-1,0], =1, für x [mm]\in[/mm] (0,1]
> Und diese ist im Punkt 0 nicht stetig, wegen des Sprungs
> von 0 auf 1.
> Ist das soweit richtig?
> Muss ich das noch "mathematischer" ausdrücken?
An dieser Stelle im Studium erscheint mir das nicht notwendig 
> Und noch eine Frage dazu:
> Du hast bei c) geschrieben: "alle anderen Grenzwerte". Ich
> stelle mir da Funktionen vor, die zum Beispiel an einem
> Punkt nicht 0 oder 1,sondern 2,3 oder ähnliches sind. Ist
> das richtig?
Nein, nicht ganz. Wenn du zwei Grenzfunktionen f und g hast, dann müssen diese bzgl der Halbnorm identisch sein, also
[mm] \|g-h\|_1 = 0 [/mm] .
Das ist genau dann der Fall, wenn sie fast überall übereinstimmen. Das ist ntürlich auch der Fall, wenn sie sich nur an endlich vielen oder nur an einem Punkt unterscheiden.
> Zu c):Es gibt keine stetige Grenzfunktion, weil es immer
> diesen Sprung von 0 auf 1 an der Stelle x=0 gibt, glaube
> ich, oder?
> ich probiere mal das Ganze mathematisch auszudrücken:
> Eine Funktion f: [mm]\IR^n->\IR^m[/mm] heißt ja in einem Punkt [mm]x_0[/mm]
> stetig, wenn dort [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}[/mm] f(x) = [mm]f(x_0).[/mm]
>
> Hier wäre [mm]x_0=0[/mm] mit [mm]f(x_0)=0[/mm] und x=1/n mit f(x)=nx
> Der Grenzwert von f(x) für n-> [mm]\infty[/mm] ist aber n*1/n=1
> und nicht 0.
> Aber habe ich es damit für alle möglichen Grenzfunktionen
> gezeigt?
Du hast eine Grenzfunktion f, die nicht stetig ist. Du musst zeigen, dass es keine stetige Funktion g gibt, sodass
[mm] \|f-g\|_1 = 0[/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Sa 27.11.2010 | | Autor: | mathiko |
Hallo rainer!
Zwei Probleme habe ich noch:
> > Dann bleibt noch:
> > [mm]\integral_{0}{\bruch{1}{n}}{|nx-mx| dx}=|1/2*n*x^2-1/2*m*x^2|in[/mm]
> den
> > Grenzen 0 bis 1/n
> > [mm]=|\bruch{1}{2n}-\bruch{m}{2n^2}|=\bruch{n-m}{2n^2}\le \bruch{n}{2n^2}=\bruch{1}{2n}< \epsilon[/mm]
>
> Ich habe das nicht nachgerechnet, aber hast du
> berücksichtigt, dass sich der Verlauf von [mm]f_n-f_m[/mm] bei 0,
> 1/m und 1/n ändert?
>
Öh, nein! Aber muss ich die 0 berücksichtigen? Das ist ja im Intervall nicht mehr enthalten: (0,1/n].
Ich habe das so gemacht, wie ich es bei Zahlen-Cauchy-Folgen gemacht habe, ist da die Verlaufsänderung nicht schon mit drin?
>
> > Zu c):Es gibt keine stetige Grenzfunktion, weil es immer
> > diesen Sprung von 0 auf 1 an der Stelle x=0 gibt, glaube
> > ich, oder?
> > ich probiere mal das Ganze mathematisch auszudrücken:
> > Eine Funktion f: [mm]\IR^n->\IR^m[/mm] heißt ja in einem Punkt [mm]x_0[/mm]
> > stetig, wenn dort [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}[/mm] f(x) = [mm]f(x_0).[/mm]
> >
> > Hier wäre [mm]x_0=0[/mm] mit [mm]f(x_0)=0[/mm] und x=1/n mit f(x)=nx
> > Der Grenzwert von f(x) für n-> [mm]\infty[/mm] ist aber n*1/n=1
> > und nicht 0.
> > Aber habe ich es damit für alle möglichen Grenzfunktionen
> > gezeigt?
>
> Du hast eine Grenzfunktion f, die nicht stetig ist. Du
> musst zeigen, dass es keine stetige Funktion g gibt,
> sodass
>
> [mm]\|f-g\|_1 = 0[/mm] .
>
Dann definiere ich mir also eine stetige Funktion g. Dann gibt es an den Stellen, wo f unstetig und g stetig ist, Unterschiede, so dass [mm] \integral_{-1}{1}{|f-g| dx} \not= [/mm] 0 ist und damit auch die Halbnorm.
Kann ich das mathematisch noch deutlicher schreiben?
Viele Grüße
Mathiko
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 So 28.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Mathiko!
> Hallo rainer!
> Zwei Probleme habe ich noch:
>
> > > Dann bleibt noch:
> > > [mm]\integral_{0}{\bruch{1}{n}}{|nx-mx| dx}=|1/2*n*x^2-1/2*m*x^2|in[/mm]
> > den
> > > Grenzen 0 bis 1/n
> > > [mm]=|\bruch{1}{2n}-\bruch{m}{2n^2}|=\bruch{n-m}{2n^2}\le \bruch{n}{2n^2}=\bruch{1}{2n}< \epsilon[/mm]
>
> >
> > Ich habe das nicht nachgerechnet, aber hast du
> > berücksichtigt, dass sich der Verlauf von [mm]f_n-f_m[/mm] bei 0,
> > 1/m und 1/n ändert?
> >
> Öh, nein! Aber muss ich die 0 berücksichtigen? Das ist ja
> im Intervall nicht mehr enthalten: (0,1/n].
Die 0 ist nicht das Problem, sondern die Tasache, dass [mm] $f_n-f_m$ [/mm] vier verschiedene Verläufe hat. Zwischen $1/n$ und $1/m$ ist es etwas anderes als zwischen $0$ und [mm] $\min\{1/n,1/m\}$. [/mm] Daher ist deine Rechnung falsch.
> Ich habe das so gemacht, wie ich es bei
> Zahlen-Cauchy-Folgen gemacht habe, ist da die
> Verlaufsänderung nicht schon mit drin?
> >
> > > Zu c):Es gibt keine stetige Grenzfunktion, weil es immer
> > > diesen Sprung von 0 auf 1 an der Stelle x=0 gibt, glaube
> > > ich, oder?
> > > ich probiere mal das Ganze mathematisch auszudrücken:
> > > Eine Funktion f: [mm]\IR^n->\IR^m[/mm] heißt ja in einem Punkt [mm]x_0[/mm]
> > > stetig, wenn dort [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}[/mm] f(x) = [mm]f(x_0).[/mm]
> > >
> > > Hier wäre [mm]x_0=0[/mm] mit [mm]f(x_0)=0[/mm] und x=1/n mit f(x)=nx
> > > Der Grenzwert von f(x) für n-> [mm]\infty[/mm] ist aber
> n*1/n=1
> > > und nicht 0.
> > > Aber habe ich es damit für alle möglichen Grenzfunktionen
> > > gezeigt?
> >
> > Du hast eine Grenzfunktion f, die nicht stetig ist. Du
> > musst zeigen, dass es keine stetige Funktion g gibt,
> > sodass
> >
> > [mm]\|f-g\|_1 = 0[/mm] .
> >
> Dann definiere ich mir also eine stetige Funktion g. Dann
> gibt es an den Stellen, wo f unstetig und g stetig ist,
> Unterschiede, so dass [mm]\integral_{-1}{1}{|f-g| dx} \not=[/mm] 0
> ist und damit auch die Halbnorm.
> Kann ich das mathematisch noch deutlicher schreiben?
Du hast nichts gezeigt, sondern nur behauptet, dass es so ist. Du nimmst, an dass g stetig ist und fast überall mit f übereinstimmt. Daraus konstruierst du einen Widerspruch.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 So 28.11.2010 | | Autor: | mathiko |
Hallo Rainer!
Ich glaube, so langsam komme ich dahinter wie das Alles zusammenhängt.
Aber zur Vorsicht:
>
> Die 0 ist nicht das Problem, sondern die Tasache, dass
> [mm]f_n-f_m[/mm] vier verschiedene Verläufe hat. Zwischen [mm]1/n[/mm] und
> [mm]1/m[/mm] ist es etwas anderes als zwischen [mm]0[/mm] und
> [mm]\min\{1/n,1/m\}[/mm]. Daher ist deine Rechnung falsch.
>
Das heißt, ich muss es für jeden Verlauf einzeln zeigen, oder?
Nur um sicherzugehen, dass ich da nicht etwas falsch verstanden habe: Die vier Verläufe hängen davon, ab wie n und m definiert sind, also n,m=0 ; n=m ; n>m und n<m.
Stimmt das so?
>
> Du hast nichts gezeigt, sondern nur behauptet, dass es so
> ist. Du nimmst, an dass g stetig ist und fast überall mit
> f übereinstimmt. Daraus konstruierst du einen
> Widerspruch.
>
Jepp, darauf wollte ich hinaus ;)
Viele Grüße
mathiko
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 So 28.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Rainer!
> Ich glaube, so langsam komme ich dahinter wie das Alles
> zusammenhängt.
> Aber zur Vorsicht:
> >
> > Die 0 ist nicht das Problem, sondern die Tasache, dass
> > [mm]f_n-f_m[/mm] vier verschiedene Verläufe hat. Zwischen [mm]1/n[/mm] und
> > [mm]1/m[/mm] ist es etwas anderes als zwischen [mm]0[/mm] und
> > [mm]\min\{1/n,1/m\}[/mm]. Daher ist deine Rechnung falsch.
> >
> Das heißt, ich muss es für jeden Verlauf einzeln zeigen,
> oder?
> Nur um sicherzugehen, dass ich da nicht etwas falsch
> verstanden habe: Die vier Verläufe hängen davon, ab wie n
> und m definiert sind, also n,m=0 ; n=m ; n>m und n<m.
> Stimmt das so?
Das stimmt zwar, ist aber irrelevant. n,m=0 kommen nicht vor, weil die Folgen bei 1 anfangen; n=m ist trivial, und $n<m$ und $n>m$ brauchst du nicht wirklich zu unterscheiden, da es immer um den Betrag [mm] $|f_n(x)-f_m(x)|$ [/mm] geht und du daher o.B.d.A. $m<n$ annehmen kannst. Der einzige interessante Fall ist also $m<n$.
Wie ich schon schrieb, ändert das nichts an der Schlussfolgerung, nur an der Rechnung.
> > Du hast nichts gezeigt, sondern nur behauptet, dass es so
> > ist. Du nimmst, an dass g stetig ist und fast überall mit
> > f übereinstimmt. Daraus konstruierst du einen
> > Widerspruch.
> >
> Jepp, darauf wollte ich hinaus ;)
Gut.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 08:35 Mo 29.11.2010 | | Autor: | mathiko |
Hallo Rainer!
> Der einzige interessante Fall
> ist also [mm]mEingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
.
>
> Wie ich schon schrieb, ändert das nichts an der
> Schlussfolgerung, nur an der Rechnung.
>
Hmm, das Einzige, was mir auffällt ist, dass ich den Betrag bei dr Integralberchnung gründlich habe unter den Tisch fallen lassen...
Mittlerweile bin ich mir nicht mal mehr sicher, ob die Grenzen stimmen und ich nicht doch von -1 bis 1 integrieren muss. Schließlich will ich für das ganze Integral eine Cauchy-Folge.
Aber das hast du wohl nicht gemeint. Nur sehe ich leider nicht wie sich die Einschränkung m<n auf die Rechnung auswirkt.
Ich kann dir ja mal meine gedanken aufschreiben:
Vielleicht beim Finden der konvergierenden Majorante?
Ich hatte ja \bruch{n-m}{2n^2} \ le \bruch{n}{2n^2}= \bruch[1}{2n}. Ist der Unterschied zwischen linker und rechter Seite nicht deutlich genug?
Aber das ist ja auch Quatsch wegen dem \le...
Magst du mir da noch einmal helfen?
Viele Grüße
mathiko
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:21 Do 02.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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