Cauchy-Frobenius-Lemma < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:15 Do 26.03.2009 | | Autor: | daria |
Cauchy-Frobenius-Lemma:
Für jede Permutationsgruppe G gilt
[mm] $b(G)=\bruch{1}{|G|}\sum_{g \in G} [/mm] |Fix(g)|$
mit [mm] $Fix(g):=\{ a \in A | g(a)=a\}$ [/mm] und [mm] $b(G):=|\{a^G|a \in A\}|$
[/mm]
Vielen Dank nochmal an statler, dass er mir erklärt hat, was genau die Bahnen von G sind!
In unserem alten Beispiel:
Rechteck
A B
C D
mit G={2 Spiegelungen, 1 Drehung, Id}
mit 1 Bahn {A,B,C,D} (Länge 4)
Was genau beschreibt jetzt dieses kleine g?
die möglichen Untergruppen?
Schaut man jetzt:
[mm] $g_1$={Id, Spiegelung 1} $\Rightarrow$ [/mm] keine Fixpunkte
[mm] $g_2$={Id, Spiegelung 2} $\Rightarrow$ [/mm] keine Fixpunkte
[mm] $g_3$={Id, Drehung} $\Rightarrow$ [/mm] keine Fixpunkte
[mm] $g_4$={Id} $\Rightarrow$ [/mm] 4 Fixpunkte
Ist es so zu vestehen?
Und was genau weiß ich denn, wenn ich die Anzahl der Bahnen habe?
[edit] habe gerade gesehen das, dass ja nicht sein kann, weil ich noch durch $|G|$ teilen muss! Also stimmen meine Fixpunkte nicht =(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:06 Do 26.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> [mm]Fix(g):=\{ a \in A | g(a)=a\}[/mm]
> Was genau beschreibt jetzt dieses kleine g?
> die möglichen Untergruppen?
Ja g ist ein Element der Gruppe G. Jedem [mm] g\in [/mm] G ist ja durch die Gruppenwirkung eine Bijektion [mm] g:A\to [/mm] A zugeordnet, und Fix(g) ist die Menge der Fixpunkte dieser Abbildung. Übersetzt in dein Beispiel:
Ist g z.B. die Identität, so ist Fix(g)=A. Für alle anderen Elemente aus G (Drehungen und Spiegelungen) gibt es keine Fixpunkte, also [mm] Fix(g)=\emptyset. [/mm] Daher liefert das Cauchy-Frobenius-Lemma
[mm] $1=b(G)=\bruch{1}{|G|}\sum_{g \in G} |Fix(g)|=\bruch{1}{4}\cdot(4+0+0+0)=1$
[/mm]
Da die Identität immer |G| Fixpunkte hat, ist die rechte Seite also stets größergleich Eins: es gibt immer mindestens eine Bahn. 
Nimm doch als Beispiel noch statt einem Rechteck ein Quadrat, dort gibt es auch nichttriviale Elemente mit Fixpunkten.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Do 26.03.2009 | | Autor: | daria |
okay, also ich habe ein Quadrat
A B
C D
dann ist mein G={Id, 4 Spiegelungen, 3 Drehungen}
Sei [mm] $S_1$, $S_3$ [/mm] die Spiegelung der Mittelsenkrechten
und [mm] $S_2$, $S_4$ [/mm] die Spiegelung an den Diagonalen
Meine Fixpunkte:
Fix(Id)=4
für alle 3 Drehungen: [mm] $Fix(Drehung)=\emptyset$
[/mm]
[mm] $Fix(S_1)=Fix(S_3)=\emptyset$
[/mm]
[mm] $Fix(S_2)=Fix(S_4)=2$
[/mm]
Hätte ich also dann insgesamt 8?
Also auch $b(G)=8$??
Welche 8 Bahnen wären das denn?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 Do 26.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> okay, also ich habe ein Quadrat
> A B
> C D
>
> dann ist mein G={Id, 4 Spiegelungen, 3 Drehungen}
>
> Sei [mm]S_1[/mm], [mm]S_3[/mm] die Spiegelung der Mittelsenkrechten
> und [mm]S_2[/mm], [mm]S_4[/mm] die Spiegelung an den Diagonalen
>
>
> Meine Fixpunkte:
> Fix(Id)=4
> für alle 3 Drehungen: [mm]Fix(Drehung)=\emptyset[/mm]
> [mm]Fix(S_1)=Fix(S_3)=\emptyset[/mm]
> [mm]Fix(S_2)=Fix(S_4)=2[/mm]
Was du hier hingeschrieben hast, sind die Mächtigkeiten der Fixpunktmengen. Beachte: Fix(Id)=A, und |Fix(Id)|=4 - das ist ein ganz klarer Unterschied.
> Hätte ich also dann insgesamt 8?
Ja, [mm] $\sum_g\in [/mm] G|Fix(g)|=8$.
> Also auch [mm]b(G)=8[/mm]??
> Welche 8 Bahnen wären das denn?
Du musst doch noch durch die Mächtigkeit von |G| Teilen. Also wieder nur eine Bahn... findest du eine Fläche, sodass die Gruppenwirkung der zugehörigen Symmetriegruppe mehr als eine Bahn hat?
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Do 26.03.2009 | | Autor: | daria |
Ist dann Fix(Id)=A (in unserem Beispiel: {A,B,C,D}?)
> Du musst doch noch durch die Mächtigkeit von |G| Teilen.
oh man, natürlich. Ich bin immer zu schnell und vergesse den Rest..
> Also wieder nur eine Bahn... findest du eine Fläche, sodass
> die Gruppenwirkung der zugehörigen Symmetriegruppe mehr als
> eine Bahn hat?
Genau die frage habe ich mir auch schon gestellt. Es muss ja sowas geben, sonst wäre die Formel ja unsinnig.
Ich dachte erst bei einem Dreieck, aber auch da gibt es nur 1 Bahn für G={Id,2 Drehungen,3 Spiegelungen}.
Kannst du mir einen Tipp geben?
[edit] mir ist grad was eingefallen.. bei einem Fünfeck..
da gibt 2 Bahnen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:53 Do 26.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> Ist dann Fix(Id)=A (in unserem Beispiel: {A,B,C,D}?)
Ja.
> > Also wieder nur eine Bahn... findest du eine Fläche, sodass
> > die Gruppenwirkung der zugehörigen Symmetriegruppe mehr als
> > eine Bahn hat?
>
> Genau die frage habe ich mir auch schon gestellt. Es muss
> ja sowas geben, sonst wäre die Formel ja unsinnig.
Das ist irgendwie kein Argument...
> [edit] mir ist grad was eingefallen.. bei einem Fünfeck..
> da gibt 2 Bahnen!
Hmm ich glaube das stimmt nicht, ich kann doch von jedem Punkt durch eine Drehung auf jeden anderen Punkt kommen.
Ich habe mir was einfacheres überlegt: Ein gleichschenkliges Dreieck, das nicht gleichseitig ist. Gibt es auch ebene Figuren mit drei Bahnen?
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Do 26.03.2009 | | Autor: | daria |
> > [edit] mir ist grad was eingefallen.. bei einem Fünfeck..
> > da gibt 2 Bahnen!
> Hmm ich glaube das stimmt nicht, ich kann doch von jedem
> Punkt durch eine Drehung auf jeden anderen Punkt kommen.
Du hast recht, ich habe mir das fünfeck falsch aufgemalt, halt nicht mit gleichen seiten.
> Ich habe mir was einfacheres überlegt: Ein
> gleichschenkliges Dreieck, das nicht gleichseitig ist. Gibt
> es auch ebene Figuren mit drei Bahnen?
okay, also hier ist:
G={Id, 1 Spiegelung} (hier habe ich doch keine Drehungen oder?!)
|Fix(id)|=3 und |Fix(Spiegelung)|=1
also insgesamt 4
aber [mm] $b(G)=\bruch{4}{3}$ [/mm] kann ja auch nicht sein.
Argh, wo hab ich denn jetzt schon wieder einen Fehler..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Do 26.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> G={Id, 1 Spiegelung} (hier habe ich doch keine Drehungen
> oder?!)
Genau.
> |Fix(id)|=3 und |Fix(Spiegelung)|=1
> also insgesamt 4
> aber [mm]b(G)=\bruch{4}{3}[/mm] kann ja auch nicht sein.
> Argh, wo hab ich denn jetzt schon wieder einen Fehler..
Ja |G|=2, nicht 3.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 Do 26.03.2009 | | Autor: | daria |
*lach* ich hab irgendwie an drei Punkte gedacht...
Natürlich!
Vielen vielen Dank für die ausführliche Hilfe!
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