Cauchy-Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:47 Fr 19.01.2007 | | Autor: | juerci |
| Aufgabe | | Man berechne [mm] \integral_{a}^{b}{x^{p} dx} [/mm] mit [mm] [a,b]\subset\IR [/mm] und [mm] p\ge0 [/mm] als Cauchy-Integral mit der Unterteilung [mm] x_{k}=aq^{k}, q=\wurzel[n]{\bruch{b}{a}}, [/mm] k=0,...,n. |
Ich suche schon den ganzen Tag im Internet nach einem Beispiel bzw. nach einer Erklärung zum Cauchy-Integral, die mir eventuell weiterhelfen könnte, bin jedoch nicht fündig geworden. Hoffe mir kann jemand helfen, bin bei diesem Beispiel am verzweifeln. Danke im voraus!
Mit freundlichen Grüßen
Jürgen
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> Man berechne [mm]\integral_{a}^{b}{x^{p} dx}[/mm] mit
> [mm][a,b]\subset\IR[/mm] und [mm]p\ge0[/mm] als Cauchy-Integral mit der
> Unterteilung [mm]x_{k}=aq^{k}, q=\wurzel[n]{\bruch{b}{a}},[/mm]
> k=0,...,n.
> Ich suche schon den ganzen Tag im Internet nach einem
> Beispiel bzw. nach einer Erklärung zum Cauchy-Integral, die
> mir eventuell weiterhelfen könnte, bin jedoch nicht fündig
> geworden.
Hallo,
Ja? Ich bin nach weniger als einer Minute ![[]](/images/popup.gif) hier fündig geworden.
Gesucht ist eine Folge [mm] (t_n) [/mm] von abschnittweise durch Treppenfunktionen definierten Funktionen, welche gleichmäßig gegen f konvergiert.
Das Intervall [a,b] sollst Du Dir wie angegeben unterteilen:
[mm] a=a*(\bruch{b}{a})^\bruch{1}{n}, a*(\bruch{b}{a})^\bruch{2}{n}, a*(\bruch{b}{a})^\bruch{3}{n},...,a*(\bruch{b}{a})^\bruch{n-1}{n}, a*(\bruch{b}{a})^\bruch{n}{n}=b. [/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Fr 19.01.2007 | | Autor: | juerci |
So weit bin ich eh gekommen. Ich weiß eh dass ich das Integral in einem Intervall [a,b] mit einer Folge von Treppenfunktionen annähern kann => Cauchy-Integral. Nur leider hänge ich wie immer in der Anwendung des Wissens. Könntest du mir bitte noch helfen wie ich diesen Limes dann fertig ausrechne. Wie schaut für [mm] \integral_{a}^{b}{f_{n}(x) dx} [/mm] meine Grenzfuntion [mm] f_{n}(x) [/mm] aus. Weiters hänge ich dann auch bei dem Schritt [mm] \integral_{a}^{b}{f_{n}(x) dx} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}f_{k} \Delta(k). [/mm]
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> So weit bin ich eh gekommen. Ich weiß eh dass ich das
> Integral in einem Intervall [a,b] mit einer Folge von
> Treppenfunktionen annähern kann => Cauchy-Integral. Nur
> leider hänge ich wie immer in der Anwendung des Wissens.
> Könntest du mir bitte noch helfen wie ich diesen Limes dann
> fertig ausrechne. Wie schaut für [mm]\integral_{a}^{b}{f_{n}(x) dx}[/mm]
> meine Grenzfuntion [mm]f_{n}(x)[/mm] aus.
Mach Dir doch einmal eine Skizze, daran kannst Du vieles verstehen.
Wie die zu integrierende Funktion [mm] x^p [/mm] in etwa aussieht, weißt Du.
Greife Dir ein Intervall heraus, welches Du in 5 Teile teilst.
Nun überleg' Dir, wie Du Deine Funktion durch Treppenfunktionen annähern kannst.
Als nächstes Überlegst Du Dir das Integral der Treppenfunktion, also den Flächeninhalt unter derselbigen.
Danach erst würde ich mir die Sache allgemein für n notieren.
Erst die Funktion, dann die Fläche darunter.
Und ganz am Ende den Grenzübergang.
Ob Du dann einigermaßen richtig liegst, kannst Du ja sogar selbst überprüfen, denn was herauskommen soll, weißt Du ja eigentlich aus der Schule.
Gruß v. Angela
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