Cauchy-Kriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:38 Fr 09.05.2008 | | Autor: | Dan86 |
| Aufgabe | Untersuchen sie folgende Reihe mittels Cauchy-Kriterium auf Konvergenz.
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{cos(k)}{2^k} [/mm] |
Hallo Leute,
Ich habe hier acht Aufgaben, wo ich das Cauchy Kriterium anwenden soll. Leider weiß ich nicht so richtig, wie ich da rangehen soll, da wir bisher nur die Definition bewiesen, aber keine Beispielaufgaben dazu gerechnet haben.
Definition:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_n [/mm] ist konvergent genau dann, wenn gilt:
Zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 existiert ein N = [mm] N(\varepsilon) [/mm] > 0; so dass [mm] |S_n [/mm] - [mm] S_m| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n;m [mm] \ge [/mm] N.
Ich habe jetzt erstmal so angefangen:
Sei m > n. Dann ist:
[mm] |S_n [/mm] - [mm] S_m| [/mm] = [mm] \bruch{cos(n+1)}{2^{n+1}} [/mm] + [mm] \bruch{cos(n+2)}{2^{n+2}} [/mm] + ... + [mm] \bruch{cos(m)}{2^m}
[/mm]
Jetzt weiß ich eigentlich schon nicht mehr, was ich genau machen muss. Es wäre echt super, wenn mir jemand ein Tipp geben könnte wie man da vorgeht oder es vielleicht anhand einer Beispielaufgabe einmal vorrechnen könnte.
Grüße
Daniel
Diese Frage habe ich in keinem anderem Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:37 Fr 09.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Schätze die Summe ab durch [mm] cos\le1, [/mm] dann [mm] 1/2^n [/mm] ausklammern und die Klammer summieren.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:09 Fr 09.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Untersuchen sie folgende Reihe mittels Cauchy-Kriterium auf
> Konvergenz.
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{cos(k)}{2^k}[/mm]
> Hallo Leute,
> Ich habe hier acht Aufgaben, wo ich das Cauchy Kriterium
> anwenden soll. Leider weiß ich nicht so richtig, wie ich da
> rangehen soll, da wir bisher nur die Definition bewiesen,
> aber keine Beispielaufgaben dazu gerechnet haben.
Definitionen kann man nicht beweisen. Und Deine "Definition" ist eigentlich auch keine Definition, sondern in Wahrheit ein Satz/Lemma.
> Definition:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_n[/mm] ist konvergent genau dann, wenn
> gilt:
>
> Zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] > 0 existiert ein N = [mm]N(\varepsilon)[/mm] >
> 0; so dass [mm]|S_n[/mm] - [mm]S_m|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] für alle n;m [mm]\ge[/mm] N.
Das ist - wie gesagt - keine Definition, sondern ein Satz bzw. ein Lemma.
Bei Euch steht im Skript vll. sowas wie:
Satz und Definition: ...
Die Definition bezieht sich dabei darauf, was das "Cauchy-Kriterium einer Reihe" sein soll:
Nämlich (in Worten):
Wir sagen, eine Reihe erfüllt genau dann das Cauchy-Kriterium, wenn die zugehörige Folge ihrer Teilsummen eine Cauchyfolge ist.
Und dann gilt die Aussage:
Genau dann konvergiert eine Reihe (in [mm] $\IR$ [/mm] oder [mm] $\IC$), [/mm] wenn sie das Cauchykriterium erfüllt (das ist das, was Du oben als "Definition" deklarierst, obwohl es eigentlich keine ist, in Worten ausgedrückt).
> Ich habe jetzt erstmal so angefangen:
>
> Sei m > n. Dann ist:
>
> [mm]|S_n[/mm] - [mm]S_m|[/mm] = [mm]\bruch{cos(n+1)}{2^{n+1}}[/mm] +
> [mm]\bruch{cos(n+2)}{2^{n+2}}[/mm] + ... + [mm]\bruch{cos(m)}{2^m}[/mm]
Richtig wäre (weil der [mm] $\cos(.)$ [/mm] ja negative und positive Werte annimmt):
[mm] $\left|S_n-S_m\right|=\left|\frac{\cos(n+1)}{2^{n+1}}+\frac{\cos(n+2)}{2^{n+2}}+...+\frac{\cos(m)}{2^{m}}\right|$
[/mm]
Also bitte rechterhand nicht die Betragsstriche vergessen!
Weiter geht's:
Jetzt gilt hier die allg. Dreiecksungleichung, mit welcher folgt:
[mm] $\left|S_n-S_m\right|=\left|\frac{\cos(n+1)}{2^{n+1}}+\frac{\cos(n+2)}{2^{n+2}}+...+\frac{\cos(m)}{2^{m}}\right| \le \left|\frac{\cos(n+1)}{2^{n+1}}\right|+\left|\frac{\cos(n+2)}{2^{n+2}}\right|+...+\left|\frac{\cos(m)}{2^{m}}\right|$
[/mm]
Rest: siehe Leduart's Beitrag.
P.S.:
Weiterer Tipp:
Weil [mm] $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^k}$ [/mm] konvergiert, ist die Folge [mm] $\left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k}\right)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Cauchyfolge. Du kannst hier aber ggf. auch mit der Formel:
[mm] $\sum_{k=1}^n q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ [/mm] ($q [mm] \not=1$) [/mm] arbeiten...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:23 Fr 09.05.2008 | | Autor: | Dan86 |
Vielen herzlichen Dank für eure Tipps.
Ich habe die Aufgabe jetzt hinbekommen und werde mich an den restlichen Aufgaben versuchen, um ein bischen routine zu bekommen.
Ich melde mich dann nochmal, wenn Schwierigkeiten aufkommen.
Grüße
Daniel
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moin, habe ne ähnlich aufgabe, habe jetzt ausgeklammert in der klammer stehen nun die terme 1/2 - [mm] 1/2^p [/mm] wie kann ich das nun weiter reduzieren?nur summieren udn sagen das konvergiert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:58 Di 20.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Mir ist das zu kryptisch, ein wenig ausführlicher musst du schon schreiben.
fast alle Probleme mit Reihen "sind so ähnlich"
Gruss leduart
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[mm] &=\frac{1}{2^n}\cdot\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^n}\cdot\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^n}\cdot\frac{1}{2^p}\\
[/mm]
[mm] &=\frac{1}{2^n}\cdot \left(\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^p}\right)\\
[/mm]
[mm] &=\frac{1}{2^n}\cdot \sum_{k=1}^{p} \frac{1}{2^k}\\
[/mm]
das sind meine lzten schritte reicht das schon für [mm] S_n? [/mm] naja und dann muss ich ja die konvergenz von [mm] s_n [/mm] zeigen wenn das alles ist! aber naja dazu muss ich erstmal wissen ob das reicht, was wähle ich dann als e?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:15 Mi 21.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich weiss hier nicht, ob n oder p gegen unendlich gehen soll.
falls p fest ist kannst du die Summe ausrechnen, (geometrische Reihe mit q=1/2)
un danach n gegen unendlich. bzw da Cauchykriterium. falls n fest ist ist das hintere die geometrische Reihe und du gehst genauso vor.
Aber es wär trotzdem besser wir wüssten was du genau willst, bzw, den Wortlaut der Aufgabe. einfach nur Konvergenz oder nach ner bestimmten Methode, und was war die Ausgangsfrage.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:14 Mi 21.05.2008 | | Autor: | honkmaster |
war dieselbe aufgabenstellugn wie bei dan...aber egal zettel musste um 12 abgegeben werden.
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