Cauchy-Kriterium für Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:22 So 12.12.2010 | | Autor: | katrin10 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie mit dem Cauchy-Kriterium die Konvergenz der Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{10^k}. [/mm] |
Hallo,
Das Cauchy-Kriterium lautet: Für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0 existiert ein n0 [mm] \in \IN [/mm] für alle m [mm] \ge [/mm] n [mm] \ge [/mm] n0, sodass gilt: [mm] \vmat{ \summe_{k=n}^{m} a_k }< \varepsilon.
[/mm]
Mir ist klar, dass die gegebene Reihe konvergiert, allerdings bin ich mir nicht sicher, wie ich das Cauchy-Kriterium hierbei anwenden soll. Nach der Dreiecksungleichug gilt: [mm] \vmat{\summe_{k=n}^{m} \bruch{1}{10^k}} \le \summe_{k=n}^{m} \vmat{\bruch{1}{10^k}}. [/mm] Muss ich dann das Cauchy-Kriterium für Folgen verwenden?
Alternativ könnte man [mm] \vmat{\summe_{k=n}^{m} \bruch{1}{10^k}} [/mm] als die Subtraktion der Summen von 0 bis m bzw. von 0 bis n-1 schreiben und erhält schließlich [mm] \vmat{\bruch{1}{10^(n-1)}-\bruch{1}{10^(m)}}
[/mm]
Wie muss ich vorgehen, um die Konvergenz zu zeigen?
Für jegliche Hilfe bin ich dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:39 Mo 13.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Sei 0<q<1 und m>n. zeige mit der Summenformel für die endliche geom. Reihe:
[mm] $\summe_{k=n}^{m}q^k= q^n\summe_{k=n}^{m}q^{k-n}= q^n* \bruch{1-q^{m-n-1}}{1-q}<\bruch{q^n}{1-q}$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Mo 13.12.2010 | | Autor: | katrin10 |
Vielen Dank für die schnelle Antwort und die Hilfe.
[mm] \bruch{q^n}{1-q} [/mm] ist doch dann [mm] \varepsilon?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Mo 13.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für die schnelle Antwort und die Hilfe.
> [mm]\bruch{q^n}{1-q}[/mm] ist doch dann [mm]\varepsilon?[/mm]
Unfug !
Wenn Du [mm] \varepsilon [/mm] > 0 vorgibst, dann ist [mm]\bruch{q^n}{1-q}< \varepsilon[/mm] für n hinreichend groß (warum ?)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Mo 13.12.2010 | | Autor: | katrin10 |
Für große n geht [mm] q^n [/mm] gegen 0, sodass der Bruch gegen 0 konvergiert. Muss man das bei der Lösung noch dazuschreiben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Mo 13.12.2010 | | Autor: | fred97 |
ich täte es. Sicher ist sicher
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:15 Mo 13.12.2010 | | Autor: | katrin10 |
Vielen Dank für die Hilfe. Ich habe es jetzt verstanden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Mo 13.12.2010 | | Autor: | katrin10 |
Hallo,
wurde die Summenformel hier richtig angewendet? Ich dachte, die Summenformel gibt die Summe für k=0 bis m an. Daher müsste man die Summe von k=0 bis m berechnen und davon die Summe von k=0 bis n-1 subtrahieren, also man würde [mm] \bruch{q^n-q^{m+1}}{1-q} [/mm] erhalten. Wie kann ich diesen Term abschätzen?
Vielen Dank und viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:45 Di 14.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
fred hat nen Fehler in seiner Formel, dder ist aber direkt nach dem ersten = nicht wo du ihn suchst. Wenn du seinen Weg nachvolziehst solltest du ihn finden!
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Di 14.12.2010 | | Autor: | katrin10 |
Danke.
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