Cauchy-Produkt < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechne das Cauchy-Produkt
( [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (k+1)\*q^{k} [/mm] ) [mm] \* \summe_{k=1}^{\infty} q^{k} [/mm] für q [mm] \in \IC [/mm] mit |q| < 1 und berechne damit [mm] \summe_{k=1}^{\infty} {k^{2}\over2^{k}} [/mm] |
Huhu zusammen^^
ich sitze schon 3 Stunden an der Aufgabe, unwissend was mein Ziel ist ;P. Die Aufgabenstellung ist, meiner Meinung nach, nicht gerade eindeutig. Ich habe das cauchy produkt berechnet, im hinterkopf die geometrische Reihe. Die Sache ist nur die: Was ist mein Endziel?
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} {k^{2}\over2^{k}} [/mm] als Ergebnis zu kriegen oder es mit dem ersten cauchy-produkt wiederrum zu multiplizieren?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:51 Fr 09.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Berechne das Cauchy-Produkt
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> ( [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (k+1)\*q^{k}[/mm] ) [mm]\* \summe_{k=1}^{\infty} q^{k}[/mm]
> für q [mm]\in \IC[/mm] mit |q| < 1 und berechne damit
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} {k^{2}\over2^{k}}[/mm]
> Huhu
> zusammen^^
>
> ich sitze schon 3 Stunden an der Aufgabe, unwissend was
> mein Ziel ist ;P. Die Aufgabenstellung ist, meiner Meinung
> nach, nicht gerade eindeutig.
Doch, sie ist eindeutig: gegeben hast Du 2 Reihen und Du sollst ihr Cauchyprodukt berechnen.
Was ist daran unklar ?
> Ich habe das cauchy produkt
> berechnet,
Dann zeig mal her .
> im hinterkopf die geometrische Reihe. Die Sache
> ist nur die: Was ist mein Endziel?
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} {k^{2}\over2^{k}}[/mm] als
> Ergebnis zu kriegen oder es mit dem ersten cauchy-produkt
> wiederrum zu multiplizieren?
Mit Hilfe des obigen Cauchyproduktes kannst Du den Reihenwert von [mm]\summe_{k=1}^{\infty} {k^{2}\over2^{k}}[/mm] bestimmen.
FRED
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heyho,
also allgemein hab ich:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} a_{k} \* \summe_{k=1}^{\infty} b_{n-k}
[/mm]
eingesetzt in meine Reihen:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} (k+1)q^{k} \* \summe_{k=1}^{\infty} q^{n-k}
[/mm]
weggekürzt hab ich doch
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] (k+1) [mm] \* q^{n}
[/mm]
was kann ich jetzt damit machen'?
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> heyho,
>
> also allgemein hab ich:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} a_{k} \* \summe_{k=1}^{\infty} b_{n-k}[/mm]
>
>
> eingesetzt in meine Reihen:
>
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (k+1)q^{k} \* \summe_{k=1}^{\infty} q^{n-k}[/mm]
>
>
> weggekürzt hab ich doch
>
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}[/mm] (k+1) [mm]\* q^{n}[/mm]
>
>
> was kann ich jetzt damit machen'?
Hallo,
in die Tonne kloppen...
Du darfst Dir nicht einfach ausdenken, was das Cauchyprodukt ist, sondern müßtest dies nachlesen, wenn du es nicht so weißt.
Mach das jetzt mal.
Du hast zwei absolut konvergente Reihen [mm] \summe a_n [/mm] und [mm] \summe b_n.
[/mm]
Was ist dann [mm] \summe a_n*\summe b_n?
[/mm]
Gruß v. Angela
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also wenn beide absolut konvergent sind, ist das enstehende Produkt auch absolut konvergent. Meinst du das?
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> also wenn beide absolut konvergent sind, ist das enstehende
> Produkt auch absolut konvergent. Meinst du das?
>
Hallo,
nein, ich möchte, daß du einfach mal wiedergibst, was Ihr fürs Cauchyprodukt notiert habt, also [mm] \summe a_n*\summe b_n= [/mm] ... in aller Ausführlichkeit, also mit Grenzen.
Ich möchte das, damit Du siehst, warum Deine erste Idee nicht richtig war, und damit wir eine Vorlange haben, an der man sich entlanghangeln (= das Passende einsetzen) kann.
Gruß v. Angela
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[mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} \* \summe_{n=1}^{\infty}b_{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} a_{k} \* b_{n-k}
[/mm]
so hab ich das jedenfalls aus den vorlesungen gelernt.
dann wäre doch in meinem fall
[mm] (\summe_{k=0}^{\infty} [/mm] (k+1) [mm] \* q^{k}) \* \summe_{k=0}^{\infty} q^{k} [/mm] :
[mm] s_{n} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{k} [/mm] (n+1) [mm] \* q^{n} \* q^{k-n} [/mm] ?
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> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n} \* \summe_{n=1}^{\infty}b_{n}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=1}^{n} a_{k} \* b_{n-k}[/mm]
> so hab ich das
> jedenfalls aus den vorlesungen gelernt.
Hallo,
Du hast etwas falsch verstanden oder falsch abgeschrieben.
Ich jedenfalls habe das so gelernt: unter den bereits angesprochenen Voraussetzungen gilt
[mm] (\sum_{n=0}^\infty a_n)*(\sum_{n=0}^\infty b_n)= \sum_{n=0}^\infty c_n, [/mm] mit [mm] c_n [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^n {a_{k} b_{n-k}} [/mm] .
Führe Dir das gründlich zu Gemüte. Du hast hinter dem Gleichheitszeichen eine Doppelsumme!
Gruß v. Angela
> dann wäre doch in meinem fall
> [mm](\summe_{k=0}^{\infty}[/mm] (k+1) [mm]\* q^{k}) \* \summe_{k=0}^{\infty} q^{k}[/mm]
> :
> [mm]s_{n}[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{k}[/mm] (n+1) [mm]\* q^{n} \* q^{k-n}[/mm] ?
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ahh oki... Ne Doppelsumme...
dann haben wir also:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} c_{n} [/mm] bei [mm] c_{n} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{k} [/mm] (n+1) [mm] \* q^{n} \* q^{k-n}
[/mm]
Nun sind wir in der Vorlesung hingegangen und haben die Summe [mm] \summe_{k=0}^{\infty} q^{k} [/mm] bei q [mm] \in \IC [/mm] und |q| < 1 definiert als [mm] \bruch{1}{1-q}
[/mm]
also könnte ich dann ja hingehn und das ganze umschreiben als:
[mm] \bruch{1}{1-q} \* \summe_{k=0}^{\infty} [/mm] (k+1) [mm] \* q^{k}
[/mm]
erst einmal?
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Hallo,
> ahh oki... Ne Doppelsumme...
> dann haben wir also:
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} c_{n}[/mm] bei [mm]c_{n}[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{k}[/mm] (n+1) [mm]\* q^{n} \* q^{k-n}[/mm]
Da hast du an der Summe die Indizes durcheinandergehauen!
Passe die an oder nenne das [mm]c_{\red{k}}[/mm]
Außerdem starten die Summen doch bei [mm]k=1[/mm], oder habe ich das falsch in Erinnerung?
Richtig: [mm]...=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\sum\limits_{\red{n=1}}^{\red{k}}(n+1)\cdot{}q^n\cdot{}q^{k-n}[/mm]
Das kannst du zusammenfassen zu [mm]\sum\limits_{k=1}^{\infty}\sum\limits_{n=1}^{k}(n+1)q^k[/mm]
Das [mm]q^k[/mm] kannst du vorziehen, da es nicht von [mm]n[/mm] abhängt:
[mm]=\sum\limits_{k=1}^{\infty}q^k\sum\limits_{n=1}^k(n+1)[/mm]
> Nun sind wir in der Vorlesung
> hingegangen und haben die Summe [mm]\summe_{k=0}^{\infty} q^{k}[/mm]
> bei q [mm]\in \IC[/mm] und |q| < 1 definiert als [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm]
> also könnte ich dann ja hingehn und das ganze umschreiben
> als:
> [mm]\bruch{1}{1-q} \* \summe_{k=0}^{\infty}[/mm] (k+1) [mm]\* q^{k}[/mm]
>
> erst einmal?
Nein, das geht nicht. Fasse in meinem obigen Term mal die innere Summe zusammen, da kannst du entweder eine Indexverschiebung machen oder die Summe auseinanderziehen in [mm]\left( \ \sum\limits_{n=1}^kn \ \right) \ + \ \left( \ \sum\limits_{n=1}^k1 \ \right)[/mm]
Für die erste Summe kannst du einen schönen Ausdruck hinschreiben (Gauß), in der letzten wird nur k-mal die 1 summiert, da steht also ... ?
Gruß
schachuzipus
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[mm] \summe_{k=1}^{\infty} q^{k} \summe_{n=1}^{k} [/mm] (n+1)
soweit alles klar.
"Innere Summe" sagt mir ehrlich gesagt nich wirklich was sry, daher verstehe ich
[mm] \summe_{n=1}^{k} [/mm] n + [mm] \summe_{n=1}^{k} [/mm] 1
nicht so wirklich. Ich meine wo ist da das q^^{k} z.b. hinverschwunden?
( Nach gauß weiß ich [mm] \bruch{n\*(n+1)}{2} [/mm] bzw K mal eins addiert wäre einfach k oder?)
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> "Innere Summe" sagt mir ehrlich gesagt nich wirklich was
Hallo,
es ist
$ [mm] \sum\limits_{k=1}^{\infty}\sum\limits_{n=1}^{k}(n+1)q^k [/mm] $ [mm] =\sum\limits_{k=1}^{\infty}(q^k\red{\sum\limits_{n=1}^k(n+1)} [/mm] ).
Das Rotmarkierte ist die innere Summe.
> sry, daher verstehe ich
> [mm]\summe_{n=1}^{k}[/mm] n + [mm]\summe_{n=1}^{k}[/mm] 1
>
> nicht so wirklich.
Jetzt wirst Du es verstehen.
> ( Nach gauß weiß ich [mm]\bruch{n\*(n+1)}{2}[/mm]
Ich weiß nach Gauß 12...
(Deine Aussage ist doch frei von Sinn. Meine natürlich auch.)
> bzw K mal eins
> addiert wäre einfach k oder?)
Schreib es gescheit hin und achte in der ersten Summe darauf, was der Sumationsindex ist und was die Grenze.
Es ist
[mm] \sum\limits_{n=1}^k(n+1)=[/mm] [mm]\summe_{n=1}^{k}[/mm] n + [mm]\summe_{n=1}^{k}[/mm] 1= ....
Also?
Gruß v. Angela
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[mm] \summe_{n=1}^{k} [/mm] (n+1) = [mm] \summe_{n=1}^{k} [/mm] n + [mm] \summe_{n=1}^{k} [/mm] 1 = [mm] \summe_{n=1}^{k} \bruch{n\*(n+1)}{2} [/mm] + k ?
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> [mm]\summe_{n=1}^{k}[/mm] (n+1) = [mm]\summe_{n=1}^{k}[/mm] n + [mm]\summe_{n=1}^{k}[/mm] 1 = [mm] \summe_{n=1}^{k} \bruch{n\*(n+1)}{2}[/mm] [/mm] + k ?
> [mm]\summe_{n=1}^{k}[/mm] (n+1) = [mm]\summe_{n=1}^{k}[/mm] n + [mm]\summe_{n=1}^{k}[/mm] 1
Hallo,
nein.
Es ist
> [mm] $\summe_{n=1}^{k}$ [/mm] (n+1) = [mm] $\summe_{n=1}^{k}$ [/mm] n + [mm] $\summe_{n=1}^{k}$ [/mm] 1
[mm] =\bruch{k(k+1)}{2}+k.
[/mm]
Gruß v. Angela
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hmm? wieso
[mm] \bruch{k\*(k+1)}{2} [/mm] ? der laufindex fängt doch von n an bis k. k ist ja die obere grenze und wäre dann ja nur die eine Zahl k und würde gar nichts die Indizes durchlaufen oder? ( ich mein n=1,2,3,4.....k)
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> hmm? wieso
>
> [mm]\bruch{k\*(k+1)}{2}[/mm] ? der laufindex fängt doch von n an
> bis k. k ist ja die obere grenze und wäre dann ja nur die
> eine Zahl k und würde gar nichts die Indizes durchlaufen
> oder? ( ich mein n=1,2,3,4.....k)
Hallo,
??? Ich weiß jetzt nicht so recht, wovon du redest.
Das Summenzeichen hast du verstanden? Ich bin mir gerade nicht so sicher...
Es ist doch
[mm] \summe_{i=1}^100i=1+2+3+4+....+98+99+100=\bruch{100*101}{2},
[/mm]
was Du bei Bedarf auch per hand nachrechnen kannst.
Gezeigt wurde sicher per Induktion, daß
[mm] \summe{i=1}^ni=1+2+3+...+(n-1)+n=\bruch{n(n+1)}{2}.
[/mm]
Folglich ist
[mm] \summe{i=1}^ki=1+2+3+...+(k-1)+k=\bruch{k(k+1)}{2}
[/mm]
und
[mm] \summe{t=1}^kt=1+2+3+...+(k-1)+k=\bruch{k(k+1)}{2}
[/mm]
und
[mm] \summe{n=1}^kn=1+2+3+...+(k-1)+k=\bruch{k(k+1)}{2}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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ah oki,
ich glaub ich hatte den kleinen gauß nicht ganz richtig verstanden, dachte man läuft alle indizes ab aber tut man ja gar net ;P
k also haben wir jetzt insgesamt:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} q^{k} \* [/mm] ( [mm] \bruch{k\*(k+1)}{2} [/mm] +k )
oder?
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> also haben wir jetzt insgesamt:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} q^{k} \*[/mm] ( [mm]\bruch{k\*(k+1)}{2}[/mm] +k )
>
> oder?
Hallo,
wir haben
( $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (k+1)*q^{k} [/mm] $ ) $ * [mm] \summe_{k=1}^{\infty} q^{k} [/mm] $ [mm] =$\summe_{k=1}^{\infty}[ q^{k} \*$ [/mm] ( [mm] $\bruch{k\*(k+1)}{2}$ [/mm] +k )].
Gruß v. Angela
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[mm] \summe_{k=1}^{\infty} [q^{k} \* \bruch{k\*(k+1)}{2} [/mm] +k ]
=
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} [q^{k} \* \bruch{k^{2} +3k}{2}]
[/mm]
=
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} [\bruch{q^{k}\*k^{2}+q^{k}\*3k}{2}]
[/mm]
da muss in meiner rechnung bis jetzt irgendwo ein fehler drin sein oder?
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> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} [q^{k} \* \bruch{k\*(k+1)}{2}[/mm] +k ]
>
> =
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} [q^{k} \* \bruch{k^{2} +3k}{2}][/mm]
>
> =
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} [\bruch{q^{k}\*k^{2}+q^{k}\*3k}{2}][/mm]
>
> da muss in meiner rechnung bis jetzt irgendwo ein fehler
> drin sein oder?
Hallo,
es wäre hilfreich zu wissen, aus welchem Grund Du einen Fehler vermutest.
Wir haben jetzt
( $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (k+1)*q^{k} [/mm] $ [mm] )*\summe_{k=1}^{\infty} q^{k} =\bruch{1}{2}$\summe_{k=1}^{\infty}q^{k}\*k^{2}+\bruch{3}{2}\summe_{k=1}^\infty k*q^{k}$.
[/mm]
Über zweierlei könntest Du jetzt mal nachdenken:
1. wie Du eine Brücke schlägst zu $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} {k^{2}\over2^{k}} [/mm] $
2. Darüber, ob Dir zu [mm] \summe_{k=1}^\infty k*q^{k} [/mm] noch etwas einfällt.
Möglicherweise habt Ihr eine ähnliche Reihe bereits berechnet.
Gruß v. Angela
>
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uff,
die so zu schreiben, dass ich den Bruch davorziehe, wäre ich im Leben nicht gekommen.
Also zu 1. fällt mir relativ wenig ein.. Ich sehe ein [mm] k^{2} [/mm] doch leider kein [mm] 2^{k}...
[/mm]
zu 2. Naja ich nehm mal an dass in der aufgabenstellung von |q| < 1 die Rede war, dass es eine geometrische Reihe ist, kann ich diese jetzt umschreiben zu
[mm] \bruch{3}{2} \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] k [mm] \* q^{k} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} \* \bruch{k}{1-q} [/mm] ?
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> uff,
>
> die so zu schreiben, dass ich den Bruch davorziehe, wäre
> ich im Leben nicht gekommen.
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> Also zu 1. fällt mir relativ wenig ein.. Ich sehe ein
> [mm]k^{2}[/mm] doch leider kein [mm]2^{k}...[/mm]
Hallo,
aber es kommt in der betreffenden Summe ein [mm] q^k [/mm] vor.
Vielleicht, wenn du q geschickt wählst...
>
> zu 2. Naja ich nehm mal an dass in der aufgabenstellung von
> |q| < 1 die Rede war, dass es eine geometrische Reihe ist,
> kann ich diese jetzt umschreiben zu
>
> [mm]\bruch{3}{2} \summe_{k=1}^{\infty}[/mm] k [mm]\* q^{k}[/mm] =
> [mm]\bruch{3}{2} \* \bruch{k}{1-q}[/mm] ?
Um Himmelswillen! Du kannst nicht das k vor die Klammer ziehen, das ist doch ein laufender Index und keine Konstante.
Klar, mit der geometrischen reihe hat das irgendwas zu tun.
Schau mal in Deinen Unterlagen nach: ich bin mir ziemlich sicher, daß [mm] \summe (k-1)q^k [/mm] bereits besprochen wurde, und das entsprechende Ergebnis könnte man gebrauchen.
Gruß v. Angela
Gruß v. Angela
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[mm] \summe [/mm] (k-1) [mm] \* q^{k} [/mm]
ähmmm....
ist doch [mm] \summe [/mm] k [mm] \* q^{k} [/mm] - [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] ?
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Hallo EvelynSnowley2311,
> [mm]\summe[/mm] (k-1) [mm]\* q^{k}[/mm]
>
> ähmmm....
>
> ist doch [mm]\summe[/mm] k [mm]\* q^{k}[/mm] - [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm] ?
Das stimmt, wenn k von 0 an läuft.
Gruss
MathePower
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Okay nur verstehe ich nicht was das Beispiell mit (k-1) mit meiner Aufgabe bzw mit dem Schritt indem ich mich grad befinde zu tun hat ;/
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> Okay nur verstehe ich nicht was das Beispiell mit (k-1) mit
> meiner Aufgabe bzw mit dem Schritt indem ich mich grad
> befinde zu tun hat ;/
Hallo,
unser Ergebnis, mit dessen Hilfe wir die Reihe der Aufgabenstellung berechnen wollen, hast Du vor Augen?
Wie lautete es? (Mit allen Grenzen und allem Drum und Dran).
Bitte formuliere mal deutlich. Warum sagst Du "Beispiel mit (k-1)".
Schreib die Reihe hin mit Grenzen und das Ergebnis!
Wenn Du Dir diese Reihe anguckst, dann stellst Du fest, daß der Faktor um 1 niedriger ist als der Exponent.
Nun schaust Du mal, ob die Situation in dem errechneten Ergebnis noch irgendwo vorkommt.
Du wirst auch noch etwas Ähnliches entdecken, bei dem es aber nicht so ganz klappt, und müßtest Dir überlegen, wie Du es passend machen kannst.
Gruß v. Angela
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Okay zu Übersicht alles nochmal was wir bis jetzt hatten:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} (k+1)q^{k} \* \summe_{k=0}^{\infty} q^{k}
[/mm]
=>
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \summe_{n=0}^{k} (n+1)q^{k}
[/mm]
=>
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} q^{k} \summe_{n=0}^{k} [/mm] (n+1)
=>
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} q^{k} [/mm] ( [mm] \bruch{k\*(k+1)}{2} [/mm] +k )
=>
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{q^{k}k^{2} + q^{k}3k}{2}
[/mm]
=>
[mm] \bruch{1}{2} \summe_{k=0}^{\infty} q^{k} \* \bruch{3}{2} \summe_{k=0}^{\infty} q^{k} \*k^{2}
[/mm]
Meine Frage war, wieso ich mir die Reihe von [mm] (k-1)q^{k} [/mm] angucken soll, ich könnte es hier nicht erkennen. Wir haben die geometrische Reihe nur mit der basis q betrachtet, ohne noch einen Koeffizienten davor zu haben.
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> Okay zu Übersicht alles nochmal was wir bis jetzt hatten:
Hallo,
daß Du eine Zusammenfassung schreibst, ist gut.
Was sollen die Pfeile? Da gehören Gleichheitszeichen hin.
Ich denke, die untere Grenze sollte 1 sein? Was denn nun?
Das allerletzte endergebnis ist falsch.
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (k+1)q^{k} \* \summe_{k=0}^{\infty} q^{k}[/mm]
>
> =>
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \summe_{n=0}^{k} (n+1)q^{k}[/mm]
>
> =>
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} q^{k} \summe_{n=0}^{k}[/mm] (n+1)
>
> =>
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} q^{k}[/mm] ( [mm]\bruch{k\*(k+1)}{2}[/mm] +k )
>
> =>
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{q^{k}k^{2} + q^{k}3k}{2}[/mm]
>
> =>
>
> [mm]\bruch{1}{2} \summe_{k=0}^{\infty} q^{k} \* \bruch{3}{2} \summe_{k=0}^{\infty} q^{k} \*k^{2}[/mm]
>
> Meine Frage war, wieso ich mir die Reihe von [mm](k-1)q^{k}[/mm]
> angucken soll, ich könnte es hier nicht erkennen.
Du wirst es hoffentlich sehen, wenn alles richtig dasteht.
Eigentlich interessiert im Moment nur die erste und letzte Zeile.
Allerdings sollten sie richtig dastehen.
> Wir
> haben die geometrische Reihe nur mit der basis q
> betrachtet, ohne noch einen Koeffizienten davor zu haben.
Ach nee! Und was ist das?
Auch das solltest Du richtig hinschreiben.
Mit den korrekten Grenzen. So, wie's jetzt dasteht, ist es sinnlos.
Je planloser Du bist, desto sorgfältiger solltest Du arbeiten.
(Ich weiß, daß ich es auch ohne Grenzen geschrieben habe. Ich mache das, weil ich Dir nicht jegliche Denk- und Schreibarbeit abnehmen will.)
Ist Dir klar, daß die erste Teilaufgabe eigentlich geloöst ist.
Wir sind jetzt bei der konkreten Reihe, die Du berechnen sollst.
Hast Du eigentlich schon raugefunden, wie Du q wählen mußt?
Gruß v. Angela
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woops grml..
Letzte zeile war ja
[mm] \bruch{1}{2} \* \summe_{k=0}^{\infty} q^{k}\*k^{2} [/mm] + [mm] \bruch{3}{2} \summe_{k=0}^{n} q^{k}\*k
[/mm]
Gehen wir mal davon aus, dass der Laufindex bei 0 anfängt. Das können wir doch so machen, da bei k = 0 eh alles 0 ist oder? Schadet ja prinzipiell nicht.
Die frage ist, wie kann ich das (k-1) da reinbringen? bzw aus welchem grund. würde ich mit dem index rumspielen müsste ich dann aus dem [mm] q^{k} [/mm] auch [mm] q^{k-1} [/mm] machen oder? ( also wenn ich statt k , k-1 schreibe.)
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bringt es vlt was, jeweils [mm] \summe_{k=0}^{\infty} [/mm] k auszuklammern?..
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> bringt es vlt was, jeweils [mm]\summe_{k=0}^{\infty}[/mm] k
> auszuklammern?..
Hallo,
ich weiß nicht, was Du meinst?
Wo willst Du das ausklammern?
Was kommt raus? Gleichung?
Gruß v. Angela
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> woops grml..
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> Letzte zeile war ja
>
>
> [mm]\bruch{1}{2} \* \summe_{k=0}^{\infty} q^{k}\*k^{2}[/mm] + [mm]\bruch{3}{2} \summe_{k=0}^{n} q^{k}\*k[/mm]
Hallo,
und die erste? Die vollständige Gleichung wäre nicht so schlecht.
Die obere Grenze des zweiten Summanden solltest Du nochmal prüfen.
>
>
> Gehen wir mal davon aus, dass der Laufindex bei 0 anfängt.
> Das können wir doch so machen, da bei k = 0 eh alles 0 ist
> oder? Schadet ja prinzipiell nicht.
Bei dem, was Du gepostet hast, ist es in der Tat kein Unterschied, ob man bei 0 oder 1 beginnt.
>
> Die frage ist, wie kann ich das (k-1) da reinbringen? bzw
> aus welchem grund.
Irgendwie dachte ich, daß ihr in der Vorlesung oder Übung den Wert von [mm] \summe k*q^{k-1} [/mm] oder sowas ähnliches schon ausgerechnet hattet, aber bei Durchsicht des Threads sehe ich, daß daß wohl doch nicht der Fall ist - was ich mir kaum vorstellen kann. Schau in Deinen Unterlagen nach.
Das Ergebnis bräuchten wir, um zügig voranzukommen.
> würde ich mit dem index rumspielen
> müsste ich dann aus dem [mm]q^{k}[/mm] auch [mm]q^{k-1}[/mm] machen oder? (
> also wenn ich statt k , k-1 schreibe.)
Ja, das müßtest du bei einer Indexverschiebung tun.
Du hast es hier mit [mm] \summe kq^k [/mm] zu tun, und es ist ja [mm] kq^k=k*q*q^{k-1} [/mm] was man verwenden kann, wenn man erstmal den Wert von [mm] \summe k*q^{k-1} [/mm] weiß.
Gruß v. Angela
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ich solls als Gleichung schreiben?
[mm] (\summe_{k=0}^{\infty} (k+1)q^{k}) \* \summe_{k=0}^{\infty} q^{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \summe_{k=0}^{\infty} q^{k} \* k^{2} [/mm] + [mm] \bruch{3}{2} \summe_{k=0}^{\infty} q^{k}\* [/mm] k
ähm k. ich verstehe, wie du das q rausgezogen hast sodass da steht q [mm] \* q^{k-1} [/mm] . Allerdings hat ich in der vorlesung halt nur die normale geometrische reihe bezüglich basis und Konvergenzverhalten was man daraus schließt.
wenn ich ein q rausziehe aus dem exponenten, was ist das dann? gibts dafür ne spezielle formel/satz?
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ich hätt inwzwischen auch nix gegen ne Lösung für den Rest des weges... unfassbar wieviel stunden ich an einer von vielen aufgaben sitze...
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> ich solls als Gleichung schreiben?
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> [mm](\summe_{k=0}^{\infty} (k+1)q^{k}) \* \summe_{k=0}^{\infty} q^{k}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2} \summe_{k=0}^{\infty} q^{k} \* k^{2}[/mm] + [mm]\bruch{3}{2} \summe_{k=0}^{\infty} q^{k}\*[/mm] k
Hallo,
ich fall vom Glauben ab, echt...
Links beginnt die Summation doch lt. Aufgabenstellung bei 1.
Das ist ein Unterschied! Warum machst du solch überflüssiges Chaos?
Nachdem ich die erste Version von dem da, die mir noch erinnerlich war, angeschaut habe, komme ich zu der Überzeugung, daß ihr in der Vorlesung doch einen der Reihenwerte, die wir hier benötigen, hergeleitet habt.
Ich teile das jetzt einfach mit, es mit Dir herzuleiten habe ich keine Lust.
Es ist [mm] \summe_{k=0}^\infty (k+1)*q^{k}=\bruch{1}{(1-q)^2}.
[/mm]
Aus diesem Ergebnis kannst du Dir Dir [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (k+1)q^{k}) [/mm] und auch [mm] \summe_{k=0}^{\infty} q^{k}\*[/mm] [/mm] k herleiten. (Ggf. indexverschiebung und ausklammern.)
Gut. Du kennst nun im Prinzip, wenn Du alles duchdacht hast, von den vier Reihen, die hier im Spiel sind, drei.
Damit kennst Du den Reihenwert von $ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} q^{k} [/mm] * [mm] k^{2} [/mm] $.
(Einfach nach dieser Reihe aulösen.)
Und wenn du Dir jetzt endlich mal überlegst, was Du für q einsetzen mußt, damit Du an Deine auszurechnende Reihe hast, bist Du fertig.
> wenn ich ein q rausziehe aus dem exponenten, was ist das
> dann? gibts dafür ne spezielle formel/satz?
Hm? Aus welchem Exponenten?
Ach, meinst Du sowas: [mm] \summe q^{k+1}= q*\summe q^k?
[/mm]
Das sind Potenzgesetze und das Distributivgesetz. q ist doch konstant, daher kannst Du's rausziehen.
Gruß v. Angela
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also geh ich recht in der Annahme wenn
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} (k+1)q^{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(1-q)^{2}} [/mm] ist und
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} q^{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] ist, das dann
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} k\*q^{k} [/mm] ebenfalls [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] sein muss?
Versteh ich sowas von überhaupt nicht warum das so ist ;/
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> also geh ich recht in der Annahme wenn
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (k+1)q^{k}[/mm] = [mm]\bruch{1}{(1-q)^{2}}[/mm] ist
> und
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} q^{k}[/mm] = [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm] ist, das
> dann
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} k\*q^{k}[/mm] ebenfalls [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm]
> sein muss?
>
> Versteh ich sowas von überhaupt nicht warum das so ist ;/
Hallo,
ich auch nicht.
was hast Du denn gerechnet, um auf diese Idee zu kommen?
(Würdest Du Deine Rechnungen mitteilen, würden sich solche Nachfragen erübrigen, und man könnte gleich mit der Klärung beginnen.)
Gruß v. Angela
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weniger gerechnet als durch (falsche?) Logik
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} (k+1)q^{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} kq^{k} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{\infty} q^{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}kq^{k} [/mm] + [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{(1-q)^{2}}
[/mm]
woops ich sehe meinen fehler in der Logik hab + und [mm] \* [/mm] vertauscht im Kopf.
also müsste [mm] \summe_{k=0}^{\infty}kq^{k} [/mm] ja sein:
[mm] \bruch{1}{(1-q)^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}kq^{k} [/mm] sein, also
aufn gleichen Nenner gebracht, subtrahiert:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}kq^{k} [/mm] = [mm] \bruch{q}{(1-q)^{2}}
[/mm]
Ist das richtig oder hab ich wieder mist gemacht?
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> also müsste [mm]\summe_{k=0}^{\infty}kq^{k}[/mm] ja sein:
>
> [mm]\bruch{1}{(1-q)^{2}}[/mm] - [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}kq^{k}[/mm] sein, also
>
> aufn gleichen Nenner gebracht, subtrahiert:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}kq^{k}[/mm] = [mm]\bruch{q}{(1-q)^{2}}[/mm]
>
>
> Ist das richtig oder hab ich wieder mist gemacht?
Hallo,
das ist jetzt richtig.
Gruß v. Angela
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hui
kann es sein dass [mm] \summe_{k=0}^{\infty} k^{2} \* q^{k} [/mm] in etwa so aussieht?
[mm] \bruch{2-3q+6q^{2}-3q^{3}}{2-6q+6q^{2}-2q^{3}}
[/mm]
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und selbst wenns es richtig ist, hab ich wohl das ziel aus den augen verloren [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k^{2}}{2^{k}} [/mm] nach meinen gefühlten tausend umformungen hab ich iwie nur schrott....
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> hui
>
> kann es sein dass [mm]\summe_{k=0}^{\infty} k^{2} \* q^{k}[/mm] in
> etwa so aussieht?
>
>
> [mm]\bruch{2-3q+6q^{2}-3q^{3}}{2-6q+6q^{2}-2q^{3}}[/mm]
Hallo,
wenn Du vorrechnen würdest, könnte ich das entscheiden.
Auf einen Blick ohne Rechnung sehe ich das nicht.
Aber wir brauchen dieses Ergebnis auch nicht unbedingt.
Das Cauchyprodukt hast Du ausgerechnet, und Du solltest doch jetzt mit seiner Hilfe die Reihe [mm] \summe_{k=1}^\infty \bruch{k^2}{2^k} [/mm] ausrechnen.
Ich weiß nicht genau, ob ich jetzt zum dritten oder vierten Mal frage:
wie mußt Du denn q wählen, damit Du genau diese Reihe bekommst?
Wir hatten ausgerechnet
$ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (k+1)q^{k} [/mm] * [mm] \summe_{k=0}^{\infty} q^{k} [/mm] $ [mm] =\bruch{1}{2}\summe_{k=1}^\infty k^2q^k+\bruch{3}{2}\summe_{k=1}^\infty kq^k.
[/mm]
Wenn Du jetzt das q weißt, die betreffende Reihe freistellst, die Reihensummen für das konkrete q hinschreibst, hast Du das Ergebnis.
Gruß v. Angela
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sry ich hab echt n Brett vorm Kopf...
ich schmeiss mal... 1/2 in den raum für q. Aber auch nur weils ein Mitstudent raushat...
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> sry ich hab echt n Brett vorm Kopf...
>
> ich schmeiss mal... 1/2 in den raum für q. Aber auch nur
> weils ein Mitstudent raushat...
Hallo,
na, also ob Du beim Einsetzen von [mm] q=\bruch{1}{2} [/mm] die Folge dastehen hast, die Du berechnen sollst, wirst Du ja wohl noch entscheiden können.
Hast Du denn mal die Folge freigestellt, so, wie ich es in meinem vorhergehenden Beitrag geschrieben hatte?
Und? Wie sieht das aus?
Gruß v. Angela
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angenommen 1/2 ist richtig:
[mm] \bruch{1}{2} \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k^{2}}{2^{k}} [/mm] + [mm] \bruch{3}{2} \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k}{2^{k}}
[/mm]
das problem sehe ich im Zähler, da kann man nix weiter zusammenziehen oder?
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> angenommen 1/2 ist richtig:
>
>
> [mm]\bruch{1}{2} \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k^{2}}{2^{k}}[/mm] + [mm]\bruch{3}{2} \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k}{2^{k}}[/mm]
Das ist schon ganz entzückend.
Wo ist die andere Seite der Gleichung?
Das Cauchyprodukt?
Und wenn die Gleichung vernünftig dasteht, dann lös sie so auf, daß [mm] $\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k^{2}}{2^{k}}$ [/mm] freisteht.
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> das problem sehe ich im Zähler, da kann man nix weiter
> zusammenziehen oder?
??? In welchem Zähler?
Ich weiß gerade nicht, was Du meinst.
Gruß v. Angela
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> > angenommen 1/2 ist richtig:
> >
> >
> > [mm] \bruch{1}{2} \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k^{2}}{2^{k}} [/mm] + [mm] \bruch{3}{2} \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k}{2^{k}} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(k+1)q^{k} \* \summe_{k=0}^{\infty} q^{k}
[/mm]
wieso soll ich eig das cauchy produkt wieder als gleichung auf die andre seite schreiben? das hilft mir irgendwie nicht weiter. ich könnte jetzt durch [mm] \bruch{1}{2} [/mm] teilen, damit unsere gesuchte reihe alleine darsteht. Soll ichs? dann steht die reihe alleine da.. Naja nicht ganz alleine jedenfalls
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> >
> > > angenommen 1/2 ist richtig:
> > >
> > >
> > > [mm]\bruch{1}{2} \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k^{2}}{2^{k}}[/mm] +
> [mm]\bruch{3}{2} \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k}{2^{k}}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(k+1)q^{k} \* \summe_{k=0}^{\infty} q^{k}[/mm]
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> wieso soll ich eig das cauchy produkt wieder als gleichung
> auf die andre seite schreiben? das hilft mir irgendwie
> nicht weiter.
Hallo,
wenn in der Aufgabe steht, daß Du die Reihe $ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k^{2}}{2^{k}}$ [/mm] mithilfe des gefragten Cauchyproduktes berechnen sollst, wirst Du wohl die entsprechende Gleichung benötigen.
> ich könnte jetzt durch [mm]\bruch{1}{2}[/mm] teilen,
> damit unsere gesuchte reihe alleine darsteht. Soll ichs?
> dann steht die reihe alleine da.. Naja nicht ganz alleine
> jedenfalls
Ja, ich sag doch seit geraumer Zeit, daß Du obige Gleichung umstellen sollst, so daß Du
[mm] $\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k^{2}}{2^{k}}$ [/mm] =... dastehen hast.
Übrigens solltest Du überall [mm] q=\bruch{1}{2} [/mm] einsetzen, und nicht nur auf der einen Seite der Gleichung.
Gruß v. Angela
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[mm] \bruch{1}{2} \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k^{2}}{2^{k}} +\bruch{3}{2} \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k}{2^{k}} [/mm] =
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}(k+1)q^{k} \* \summe_{k=0}^{\infty} q^{k}
[/mm]
mit q eingesetzt und umgestellt hab ich:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k^{2}}{^{k}} [/mm] = [mm] -3\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k}{2^{k}} [/mm] + [mm] 2\* \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k+1}{2^{k}} [/mm] + [mm] 2\* \summe_{k=0}^{\infty} 1^{k}
[/mm]
Hab ich gewonnen? ähh ich mein bin ich fertig?
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> [mm]\bruch{1}{2} \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k^{2}}{2^{k}} +\bruch{3}{2} \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k}{2^{k}}[/mm]
> =
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(k+1)q^{k} \* \summe_{k=0}^{\infty} q^{k}[/mm]
>
> mit q eingesetzt und umgestellt hab ich:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k^{2}}{^{k}}[/mm] =
> [mm]-3\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k}{2^{k}}[/mm] + [mm]2\* \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k+1}{2^{k}}[/mm] + [mm]2\* \summe_{k=0}^{\infty} 1^{k}[/mm]
Hallo,
wo ist denn das Produkt geblieben?
Und was ist das für eine 1 hinter dem letzen Summenzeichen?
Fertig bist Du, wenn Du alle Reihenwerte, die Du auf der rechten Seite stehen hast, hinschreibst.
Wir hatten sie ja besprochen.
Gruß v. Angela
>
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> Hab ich gewonnen? ähh ich mein bin ich fertig?
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> > [mm]\bruch{1}{2} \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k^{2}}{2^{k}} +\bruch{3}{2} \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k}{2^{k}}[/mm]
> > =
> > [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(k+1)q^{k} \* \summe_{k=0}^{\infty} q^{k}[/mm]
>
> >
> > mit q eingesetzt und umgestellt hab ich:
> >
> > [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k^{2}}{^{k}}[/mm] =
> > [mm]-3\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k}{2^{k}}[/mm] + [mm]2\* \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k+1}{2^{k}}[/mm]
> + [mm]2\* \summe_{k=0}^{\infty} 1^{k}[/mm]
>
> Hallo,
>
> wo ist denn das Produkt geblieben?
> Und was ist das für eine 1 hinter dem letzen
> Summenzeichen?
>
oh gott ich depp, k nochmal
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k^{2}}{2^{k}} [/mm] = -3 [mm] \summe_{k=0}^{\infty} kq^{k} [/mm] + (2 [mm] \* \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{n+1}{2^{k}} \* [/mm] 2 [mm] \* \summe_{k=0}^{\infty} (1/2)^{k} [/mm] )
wäre so ungefähr:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k^{2}}{2^{k}} [/mm] = - 6 + (2 [mm] \* \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{n+1}{2^{k}} \* [/mm] 2 [mm] \* \summe_{k=0}^{\infty} (1/2)^{k} [/mm] )
kann ich noch weitere Operationen durchführen?
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OMG!!!
ich hab mich wieder vertran/verrechnet....
Angela kannst du mir die letzten schritte zeigen? ich bin so demraßen übermüdet und sitz shcon seit 9 stunden an der aufgabe ;/
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mom ich hab jetzt:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k^{2}}{2^{k}} [/mm] = - 3 [mm] \* \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k}{2^{k}} [/mm] + 16
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> >
> > > [mm]\bruch{1}{2} \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k^{2}}{2^{k}} +\bruch{3}{2} \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k}{2^{k}}[/mm]
> > > =
> > > [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(k+1)q^{k} \* \summe_{k=0}^{\infty} q^{k}[/mm]
>
> >
> > >
> > > mit q eingesetzt und umgestellt hab ich:
> > >
> > > [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k^{2}}{^{k}}[/mm] =
> > > [mm]-3\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k}{2^{k}}[/mm] + [mm]2\* \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k+1}{2^{k}}[/mm]
> > + [mm]2\* \summe_{k=0}^{\infty} 1^{k}[/mm]
> >
> > Hallo,
> >
> > wo ist denn das Produkt geblieben?
> > Und was ist das für eine 1 hinter dem letzen
> > Summenzeichen?
> >
> oh gott ich depp, k nochmal
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k^{2}}{2^{k}}[/mm] = -3
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} kq^{k}[/mm] + (2 [mm]\* \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{n+1}{2^{k}} \*[/mm]
> 2 [mm]\* \summe_{k=0}^{\infty} (1/2)^{k}[/mm] )
>
> wäre so ungefähr:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k^{2}}{2^{k}}[/mm] = - 6 + (2 [mm]\* \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{n+1}{2^{k}} \*[/mm] [mm] \red{2}[/mm] [mm]\* \summe_{k=0}^{\infty} (1/2)^{k}[/mm] )
Wo kommt die rote 2 her? Woher das n?
-6 ist richtig.
>
> kann ich noch weitere Operationen durchführen?
Ja. Die Reihen ausrechnen.
EDIT:
mich trifft der Schlag: die Indizes stimmen nicht.
Beim Cauchyprodukt waren doch Einsen! Bei den anderen eigentlich auch, aber da hattest Du ja festgestellt, daß es egal ist.
>>>>>>>>>> $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (k+1)q^{k} \cdot{} \summe_{k=1}^{\infty} q^{k} [/mm] $ $ [mm] =\bruch{1}{2}\summe_{k=1}^\infty k^2q^k+\bruch{3}{2}\summe_{k=1}^\infty kq^k. [/mm] $
Auf die Indizes mußt Du seh gut achten, sonst kannst Du nicht das richtige Ergebnis bekommen.
Das richtige Ergebnis ist [mm] \summe_{k=1}^\infty k^20.5^k=6.
[/mm]
Gruß v. Angela
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