Cauchy-Produkt < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:30 Di 01.05.2012 | | Autor: | qetu |
| Aufgabe | Die folgende Cauchy Produkte sollen gebildet werden:
a) [mm] $(\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{\sqrt{k}})^2$
[/mm]
b) $ [mm] (\sum\limits_{k=1}^{\infty} 3^k)(\sum\limits_{k=1}^{\infty} 2^k)$ [/mm] |
Lieber Matheraum,
ich habe die beiden Cauchy-Produkte berechnet und würde euch bitten, mal über meine Rechnungen zu schauen:
Zur (a):
[mm] $(\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{\sqrt{k}})^2$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{\sqrt{k}} \cdot \frac{(-1)^{n-k+1}}{\sqrt{n-k}}$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1} {\sqrt{k} \cdot \sqrt{n-k}}$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1} {\sqrt{k(n-k)}}$
[/mm]
Mein Problem bei dieser Lösung: Für $n=k$ ist der Nenner 0...
Zur (b):
[mm] $(\sum\limits_{k=1}^{\infty} 3^k)(\sum\limits_{k=1}^{\infty} 2^k)$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty} \sum\limits_{k=1}^{n} 3^k \cdot 2^{n-k}$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty} 2^n \sum\limits_{k=1}^{n} (\frac{3}{2})^k$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty} 2^n \cdot \left( \frac{1-(\frac{3}{2})^{n+1}} {1-(\frac{3}{2})} -1 \right)$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty} [/mm] (-2 [mm] (2^n [/mm] - [mm] 3^n \cdot \frac{3}{2}) -2^n)$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty} [/mm] (-2 [mm] \cdot 2^n [/mm] + 3 [mm] \cdot 3^n [/mm] - [mm] 2^n) [/mm] $
$= [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty} [/mm] (-3 [mm] \cdot 2^n [/mm] + 3 [mm] \cdot 3^n)$
[/mm]
$= 3 [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty} [/mm] (- [mm] 2^n [/mm] + [mm] 3^n)$
[/mm]
Die Lösung sieht für mich richtig aus  ich hoffe, ihr seht das auch so
Herzliche Grüße und einen schönen 1. Mai
qetu
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Hallo qetu,
> Die folgende Cauchy Produkte sollen gebildet werden:
>
> a) [mm](\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{\sqrt{k}})^2[/mm]
>
> b) [mm](\sum\limits_{k=1}^{\infty} 3^k)(\sum\limits_{k=1}^{\infty} 2^k)[/mm]
>
> Lieber Matheraum,
>
> ich habe die beiden Cauchy-Produkte berechnet und würde
> euch bitten, mal über meine Rechnungen zu schauen:
>
> Zur (a):
>
> [mm](\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{\sqrt{k}})^2[/mm]
>
> [mm]= \sum\limits_{n=1}^{\infty} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{\sqrt{k}} \cdot \frac{(-1)^{n-k+1}}{\sqrt{n-k}}[/mm]
>
> [mm]= \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1} {\sqrt{k} \cdot \sqrt{n-k}}[/mm]
>
> [mm]= \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1} {\sqrt{k(n-k)}}[/mm]
>
> Mein Problem bei dieser Lösung: Für [mm]n=k[/mm] ist der Nenner
> 0...
>
Der Index n läuft doch von 2 bis [mm]\infty[/mm]
Der Index k läuft doch von 1 bis [mm]n-1[/mm]
> Zur (b):
> [mm](\sum\limits_{k=1}^{\infty} 3^k)(\sum\limits_{k=1}^{\infty} 2^k)[/mm]
>
> [mm]= \sum\limits_{n=1}^{\infty} \sum\limits_{k=1}^{n} 3^k \cdot 2^{n-k}[/mm]
>
Hier läuft ebenfalls der Index n von 2 bis [mm]\infty[/mm]
> [mm]= \sum\limits_{n=1}^{\infty} 2^n \sum\limits_{k=1}^{n} (\frac{3}{2})^k[/mm]
>
> [mm]= \sum\limits_{n=1}^{\infty} 2^n \cdot \left( \frac{1-(\frac{3}{2})^{n+1}} {1-(\frac{3}{2})} -1 \right)[/mm]
>
> [mm]= \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-2 (2^n - 3^n \cdot \frac{3}{2}) -2^n)[/mm]
>
> [mm]= \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-2 \cdot 2^n + 3 \cdot 3^n - 2^n)[/mm]
>
> [mm]= \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-3 \cdot 2^n + 3 \cdot 3^n)[/mm]
>
> [mm]= 3 \sum\limits_{n=1}^{\infty} (- 2^n + 3^n)[/mm]
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> Die Lösung sieht für mich richtig aus ich hoffe, ihr
> seht das auch so
>
> Herzliche Grüße und einen schönen 1. Mai
> qetu
>
Gruss
MathePower
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