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| Aufgabe | Die Folge [mm] (a_n)_{n \in \IN_0} [/mm] sei definiert durch [mm] a_n=\bruch{(-1)^n}{\wurzel{n+1}}. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_n [/mm] konvergiert,dass aber das Cauchy-Produkt dieser Reihe mit sich selbst
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} b_n [/mm] mit [mm] b_n [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} a_k a_{n-k}
[/mm]
divergiert. |
Hi,
Also das [mm] a_n [/mm] konvergiert ist klar, da [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}} [/mm] eine Nullfolge ist und monoton fällt (Leibnizkrit.).
beim zweiten teil hab ich meine Probleme, das einzige was mir hier einfällt ist zu zeigen, dass [mm] b_n [/mm] keine Nullfolge ist, aber darf ich hier überhaupt [mm] \bruch{b_{n+1}}{b_n} [/mm] betrachten, da ja [mm] b_n [/mm] auch null sein könnte für ein n [mm] \in \IN [/mm] .
oder geht man ganz anders vor ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:26 Mi 13.06.2012 | | Autor: | Helbig |
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> Also das [mm]a_n[/mm] konvergiert ist klar, da
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}}[/mm] eine Nullfolge ist und monoton
> fällt (Leibnizkrit.).
Schreib doch, was Du meinst:
Also, daß die Reihe mit den Gliedern [mm] $a_n$ [/mm] konvergiert ist klar ...
>
> beim zweiten teil hab ich meine Probleme, das einzige was
> mir hier einfällt ist zu zeigen, dass [mm]b_n[/mm] keine Nullfolge
> ist,
Das ist schon mal gut.
> aber darf ich hier überhaupt [mm]\bruch{b_{n+1}}{b_n}[/mm]
> betrachten, da ja [mm]b_n[/mm] auch null sein könnte für ein n [mm]\in \IN[/mm]
> .
> oder geht man ganz anders vor ?
Ja. Schätze [mm] $|b_n|$ [/mm] nach unten ab. Das heißt, finde eine postive untere Schranke der [mm] $|b_n|$.
[/mm]
Grüße,
Wolfgang
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Und wie gehe ich das an ?
|bn| [mm] \ge [/mm] a >0 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] würde ja schon implizieren, dass die Folge der [mm] b_n [/mm] keine Nullfolge ist.
Aber wie zeige ich das eine solche schranke existiert, also wie schätze ich diese ab ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Mi 13.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> Und wie gehe ich das an ?
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> |bn| [mm]\ge[/mm] a >0 [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] würde ja schon
> implizieren, dass die Folge der [mm]b_n[/mm] keine Nullfolge ist.
>
> Aber wie zeige ich das eine solche schranke existiert, also
> wie schätze ich diese ab ?
Na, rechne [mm] $b_n$ [/mm] aus. Die Glieder der endlichen Summe [mm] $b_n$ [/mm] haben alle dasselbe Vorzeichen. Und nun schätze [mm] $|a_k*a_{n-k}|$ [/mm] nach unten ab. Und beachte die Anzahl der Summanden von [mm] $b_n$.
[/mm]
Viel Erfolg,
Wolfgang
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Erstmal vielen Dank für die Hilfe.
Nur zur Kontrolle :
[mm] |b_n| \ge \bruch{1}{n+2} [/mm]
Stimmt das ?
mfg
ConstantinJ
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 Mi 13.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> Erstmal vielen Dank für die Hilfe.
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> Nur zur Kontrolle :
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> [mm]|b_n| \ge \bruch{1}{n+2}[/mm]
>
> Stimmt das ?
Ja. Hilft aber nicht so viel. [mm] $b_n$ [/mm] kann ja immer noch gegen $0$ konvergieren. Wir brauchen eine positive untere Schranke aller [mm] $b_n$.
[/mm]
Schätze die Nenner von [mm] $|a_k|$ [/mm] nach oben ab! Dann hast Du eine untere Schranke von [mm] $|a_k|$ [/mm] für [mm] $0\le [/mm] k [mm] \le [/mm] n$.
Grüße,
Wolfgang
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aber ich weiß doch, dass [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n+2} [/mm] nicht konvergieren kann , wenn jetzt alle |bn| [mm] \ge \bruch{1}{n+2} [/mm] kann ich dann nicht auchdamit begründen, dass [mm] \summe_{n=0}^{\infty} b_n [/mm] divergiert ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:42 Mi 13.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> aber ich weiß doch, dass [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n+2}[/mm]
> nicht konvergieren kann , wenn jetzt alle |bn| [mm]\ge \bruch{1}{n+2}[/mm]
> kann ich dann nicht auchdamit begründen, dass
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} b_n[/mm] divergiert ?
Nein. Die harmonische Reihe divergiert, die alternierende harmonische Reihe konvergiert und die [mm] $b_n$ [/mm] haben wechselndes Vorzeichen.
Gruß,
Wolfgang
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Also: ich form |bn| erst mal um in :
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{k+1}\wurzel{n-k+1}}
[/mm]
[mm] \ge \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n+1}\wurzel{n+1}}
[/mm]
= [mm] \bruch{n+1}{\wurzel{n+1}\wurzel{n+1}} [/mm] = 1
damit |bn| [mm] \ge [/mm] 1 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm]
folgt: [mm] (bn)_n [/mm] keine Nullfoge
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:24 Do 14.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> Also: ich form |bn| erst mal um in :
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{k+1}\wurzel{n-k+1}}[/mm]
>
> [mm]\ge \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n+1}\wurzel{n+1}}[/mm]
[mm] $b_n$ [/mm] ist keine Reihe, sondern eine endliche Summe von $k=0$ bis $n$ -- nicht bis [mm] $\infty$. [/mm] Aber dies ist wohl nur ein Tipfehler, oder? Aber sonst ist das genau die Abschätzung, die zum Ziel führt.
>
> = [mm]\bruch{n+1}{\wurzel{n+1}\wurzel{n+1}}[/mm] = 1
> damit |bn| [mm]\ge[/mm] 1 [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
> folgt: [mm](bn)_n[/mm] keine Nullfoge
Fast richtig. Es fehlt vielleicht noch die Begründung für
[mm] $|b_n| [/mm] = [mm] \left|\sum_{k=0}^n \frac {(-1)^k} {\sqrt {k+1}} *\frac {(-1)^{n-k}} {\sqrt {n-k+1}}\right| [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k+1}\wurzel{n-k+1}}$
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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ja war ein ein Tippfehler sollte n statt [mm] \infty [/mm] heißen.
und zur Begründung:
[mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^k}{\wurzel{k+1}}\bruch{(-1)^{n-k}}{\wurzel{n-k+1}}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^n}{\wurzel{k+1}\wurzel{n-k+1}}
[/mm]
[mm] =(-1)^n \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k+1}\wurzel{n-k+1}}
[/mm]
[mm] und:|(-1)^n \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k+1}\wurzel{n-k+1}}|
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k+1}\wurzel{n-k+1}}
[/mm]
(da [mm] \wurzel{k+1}\wurzel{n-k+1} [/mm] >0 )
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:00 Do 14.06.2012 | | Autor: | Helbig |
Wenn die Frage ist, ob ich Deine Begründung akzeptiere, lautet die Antwort: Ja!
liebe Grüße,
Wolfgang
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Hier hab ich auch Mist gebaut mit dem [mm] |b_n| \ge \bruch{1}{n+2}
[/mm]
Ich habe ja [mm] |b_n| =\summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k+1}}\bruch{1}{\wurzel{n-k+1}} \ge \summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{n+2}=\bruch{n+1}{n+2}
[/mm]
und hätte dann hier schon, dass [mm] b_n [/mm] keine Nullfolge ist.
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