CauchyFolgen im metrisch. Raum < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei CF(X) die Menge aller Cauchy-Folgen im metrischen Raum (X,d). Analog zur Vorlesung wird in CF(X) die Äquivalenzrelation [mm] \sim [/mm] definiert. Sei [mm] X^{hut} [/mm] = CF(X) / [mm] \sim [/mm] die Menge aller Äquivalenzklassen. Auf [mm] X^{hut} \times X^{hut} [/mm] definiert man mit [mm] (x_n )_{n \in \IN} \in [/mm] [x] [mm] \in X^{hut} [/mm] und [mm] (y_n )_{n \in \IN} \in [/mm] [y] [mm] \in X^{hut} [/mm] die Abbildung
[mm] d^{hut}: X^{hut} \times X^{hut} \to \IR^+_0 [/mm] , ([x],[y]) [mm] \mapsto \limes_{n\rightarrow\infty} d(x_n [/mm] , [mm] y_n).
[/mm]
Man zeige:
i) [mm] (d(x_n [/mm] , [mm] y_n))_{n \in \IN} [/mm] konvergiert.
ii) Die Definition von [mm] d^{hut} [/mm] ist unabhängig von der Auswahl der Repräsentanten.
iii) [mm] d^{hut} [/mm] ist eine Metrik. |
Hallihallo ihr Lieben!
Ich bin mal wieder total am Verzweifeln. Ich hoffe, ich kann mich auf Dauer irgendwie ohne Funkana durchschlagen, aber nun muss ich wohl wieder ran und verstehe nur Bahnhof ;)
Zu Beginn kommt in der Aufgabenstellung vor, dass man die Äquivalenzrelation in der Vorlesung definiert hat. Haben wir nicht so richtig, habe dazu nur in ner Randbemerkung was gefunden und zwar:
Für [mm] (x_n)_n [/mm] , [mm] (x'_n)_n \in [/mm] CF(X) definieren wir [mm] (x_n)_n \sim (x'_n)_n \gdw (d(x_n [/mm] , x'_n)) ist eine Nullfolge. Kann zeigen (ÜB3 - also aktueller Zettel) [mm] "\sim" [/mm] ist eine Äuquivalenzrelation.
Sind ja tolle Voraussetzungen...
Ok, also um zur Aufgabe i) zu kommen:
Man soll also zeigen, dass die Folge von Abständen von zwei Zahlenfolgen konvergiert. Naja super ;)
Also z.z. für alle epsilon > 0 existiert ein [mm] n_0 \in \IN [/mm] sodass für alle [mm] n>n_0 [/mm] gilt: [mm] d((d(x_n, y_n), [/mm] a) < epsilon. mit a als Grenzwert ?!?!
Und nun? Wie macht man das?
bei ii) weiß ich gar nicht weiter
zu iii) Wenn man zeigen soll, dass [mm] d^{hut} [/mm] eine metrik ist, müsste man doch eigentlich die 3 Eigenschaften einer Metrik zeigen, oder? Nur leider kann ich mit [mm] d^{hut} [/mm] überhaupt nichts anfangen. Ich kann mir das einfach nicht vorstellen...
Es wäre echt super, wenn mir jemand helfen könnte, ich bin nämlich schon total verzweifelt.
Lieben Dank schonmal,
Kiki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mi 15.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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