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| Aufgabe | Sei [mm] a_n [/mm] = [mm] \frac{n^2+2}{n^2+1}, (a_n)_{n\in\IN} [/mm] ist Cauchy Folge
Sei [mm] a_n [/mm] = [mm] n-\frac{1}{n}, (a_n)_{n\in\IN} [/mm] ist Cauchy Folge |
Ich weiss nicht wie ich das nachweisen bzw widerlegen soll wenn ich mir die Definition aufschreib:
[mm] a_n [/mm] is Cauchy Folge [mm] \gdw \forall\varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists N(\varepsilon) \in\IN\forall [/mm] n,m [mm] \ge N(\varepsilon): |a_n [/mm] - [mm] a_m| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
muss man dann einsetzen?
[mm] \frac{n^2+2}{n^2+1} [/mm] - [mm] \frac{m^2+2}{m^2+1} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] ?
[edit]:
man kann das leichter machen indem
[mm] \frac{n^2+2}{n^2+1} [/mm] = [mm] 1+\frac{1}{n^2+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] | [mm] \frac{1}{n^2+1} [/mm] - [mm] \frac{1}{m^2+1} [/mm] | < < [mm] \varepsilon
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:41 Mi 11.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Die erste Folge ist konvergent, also eine Cauchyfolge, die zweite Folge ist divergent, also keine Cauchyfolge
FRED
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Das wäre möglicherweise die Antwort aber der Weg es zu zeigen wäre interessant :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Mi 11.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Das wäre möglicherweise die Antwort aber der Weg es zu
> zeigen wäre interessant :)
Na, es gilt doch [mm] $|\frac{1}{n^2 + 1} [/mm] - [mm] \frac{1}{m^2 + 1}| \le \frac{1}{n^2 + 1} [/mm] + [mm] \frac{1}{m^2 + 1}$. [/mm] Wenn $n$ und $m$ gross genug sind, dann gilt [mm] $\frac{1}{n^2 + 1} [/mm] < [mm] \varepsilon/2$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{m^2 + 1} [/mm] < [mm] \varepsilon/2$.
[/mm]
Bei b) schaetze die Differenz zwischen zwei Fogengliedern nach unten ab (es gilt ja $0 < [mm] \frac{1}{n} \le [/mm] 1$). Dann kannst du fuer jedes [mm] $\varespilon [/mm] > 0$ und jedes [mm] $n_0$ [/mm] zwei $n, m [mm] \ge n_0$ [/mm] angeben mit [mm] $|a_n [/mm] - [mm] a_m| [/mm] > [mm] \varepsilon$. [/mm] (Es reicht auch aus, dies fuer ein spezielles [mm] $\varepsilon$ [/mm] zu tun.)
LG Felix
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> Na, es gilt doch [mm]|\frac{1}{n^2 + 1} - \frac{1}{m^2 + 1}| \le \frac{1}{n^2 + 1} + \frac{1}{m^2 + 1}[/mm].
> Wenn [mm]n[/mm] und [mm]m[/mm] gross genug sind, dann gilt [mm]\frac{1}{n^2 + 1} < \varepsilon/2[/mm]
> und [mm]\frac{1}{m^2 + 1} < \varepsilon/2[/mm].
Puh, hm ja wenn das so klar wär. Wieso darf ich denn mir einfach was ausdenken und danach behaupten das [mm] \frac{1}{n^2 + 1} [/mm] < [mm] \varepsilon/2 [/mm] gilt? Ich hab noch nicht diese Unidenkweise.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 Mi 11.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> > Na, es gilt doch [mm]|\frac{1}{n^2 + 1} - \frac{1}{m^2 + 1}| \le \frac{1}{n^2 + 1} + \frac{1}{m^2 + 1}[/mm].
> > Wenn [mm]n[/mm] und [mm]m[/mm] gross genug sind, dann gilt [mm]\frac{1}{n^2 + 1} < \varepsilon/2[/mm]
> > und [mm]\frac{1}{m^2 + 1} < \varepsilon/2[/mm].
>
> Puh, hm ja wenn das so klar wär. Wieso darf ich denn mir
> einfach was ausdenken und danach behaupten das [mm]\frac{1}{n^2 + 1}[/mm]
> < [mm]\varepsilon/2[/mm] gilt?
Weil [mm]\frac{1}{n^2 + 1}[/mm] eine Nullfolge ist
FRED
Ich hab noch nicht diese
> Unidenkweise.
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> > Na, es gilt doch [mm]|\frac{1}{n^2 + 1} - \frac{1}{m^2 + 1}| \le \frac{1}{n^2 + 1} + \frac{1}{m^2 + 1}[/mm].
Schätzt man da nur deswegen ab weil der Betrag stört? Wieso kann man das nicht genau machen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 Mi 11.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > > Na, es gilt doch [mm]|\frac{1}{n^2 + 1} - \frac{1}{m^2 + 1}| \le \frac{1}{n^2 + 1} + \frac{1}{m^2 + 1}[/mm].
>
> Schätzt man da nur deswegen ab weil der Betrag stört?
> Wieso kann man das nicht genau machen?
Man schaetzt es so ab weil es am einfachsten ist. Die Brueche kann man wiederum auch durch [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] bzw. [mm] $\frac{1}{m}$ [/mm] abschaetzen; das ist zwar sehr grob, reicht aber voellig aus zu zeigen, dass es eine Cauchyfolge ist.
(Alternativ haettest du auch gleich zeigen koennen, dass die Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] gegen 1 konvergiert, da konvergente Folgen immer Cauchyfolgen sind!)
LG Felix
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